Question

设二次函数f(x)=ax^2+bx+c (a,b,c属于R),满足下列条件：

设二次函数f(x)=ax^2+bx+c (a,b,c属于R),满足下列条件：1.x属于R时，f(x)的最小值是0，且f(x-1)=f(-x-1)成立；2.当x属于（0,5)时，x<=f(x)<=2|x-1|+1恒成立 (1)求f(1)的值；(2)求f(x)的解析式；(3)求最大的实数m(m>1)使得存在实数t,当x属于[1,m]时，有f(x+t)<=x成立。 亲给我步骤 谢谢

Answer 1

f(x)的最小值为（4ac-b^2）/4a^2=0，对称轴为（x-1-x-1）/2=-1=-b/（2a）得到b=2a，a=c。
又把1带入不等式中得到1<=f(1)<=1所以f(1)=1=a+b+c，所以，a=1/4 b=1/2 c=1/4
f(x+t)≤x，得到x^2+2（t-1）x+（t+1）^2≤0得到（t+1）^2≤（t-1）^2，可知t小于1，解不等式得到t≤0，得到最大值为0

Answer 2

(1):根据条件2把1带入不等式中得到1<=f(1)<=1所以f(1)=1;
(2)条件1可以得到f（x）关于-1对称且开口向上（-b）/（2a）= -1 ；f（1）=1得到a+b+c=1；根据a-b+c=0 得到a=1/4 b=1/2 c=1/4

追问

谢谢 第三题呢

追答

3. 把x+t带入f（x）中整理后得到t^2+2*（x+1）*t+（t-1）^2>=0转化为关于t的2次方程 这时讨论根的情况让t有根就可以了

Answer 3

f(x)的最小值为（4ac-b^2）/4a^2=0，对称轴为（x-1-x-1）/2=-1=-b/（2a）得到b=2a，a=c。
又把1带入不等式中得到1<=f(1)<=1所以f(1)=1=a+b+c，所以，a=1/4b=1/2c=1/4
f(x+t)≤x，得到x^2+2（t-1）x+（t+1）^2≤0得到（t+1）^2≤（t-1）^2，可知t小于1，解不等式得到t≤0，得到最大值为0