Question

如图，AD是△ABC的角平分线，DE,DF分别是△ABD和△ACD的高。求证AD垂直平分EF

Answer 1

证法1:AD平分∠BAC,DE垂直AB,DF垂直AC.则DE=DF.
又AD=AD,故Rt⊿AED≌Rt⊿AFD(HL),得AE=AF.
所以,AD垂直平分EF.(等腰三角形三线合一)

证法2:∠AED=∠AFD=90度;AD=AD;∠EAD=∠FAD.
则⊿EAD≌⊿FAD(AAS),得AE=AF.
故AD垂直平分EF.(等腰三角形三线合一)

证法3:DE垂直AB,DF垂直AC,∠EAD=∠FAD.
则DE=DF(角平分线的性质);且∠EDA=∠FDA(等角的余角相等).
所以,AD垂直平分EF.(等腰三角形三线合一)

Answer 2

证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF．
∴D在线段EF的垂直平分线上．
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠AED=∠AFD=90°，
在Rt△ADE和Rt△ADF中， ，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL）．
∴AE=AF．
∴A点在EF的垂直平分线上．
∵两点确定一条直线，
∴AD是线段EF的垂直平分线．

Answer 3

已知AD平分∠ABC ∴∠DAE=∠DAF
又∵DE⊥AB，DF⊥AC
∴∠AED=∠AFD=90°
证明△AED≌△AFD（AAS）
∴AE=AF
∴△AEF为等腰三角形
又∵AD平分∠EAF ∴，AD垂直平分EF

Answer 4

:∠AED=∠AFD=90度;AD=AD;∠EAD=∠FAD.
则⊿EAD≌⊿FAD(AAS),得AE=AF.
故AD垂直平分EF.(等腰三角形三线合一)

Answer 5

证明：AD平分BAD，∠AED=AFD=90,AD=AD
所以三角形AED全等于三角形AFD（AAS）
所以∠ADE=∠ADF
而DE=DF（角平分的性质）
所以∠DEF=∠DFE
所以三角形EDO全等FOD
所以EO=FO,∠EOD=∠FOD=180/2=90
所以DO垂直平分EF
即AD垂直平分EF

Answer 6

证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF．
∴D在线段EF的垂直平分线上．
在Rt△ADE和Rt△ADF中，
{AD=AD
DE=DF，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF．
∴AE=AF．
∴A点在EF的垂直平分线上．
∵两点确定一条直线，
∴AD是线段EF的垂直平分线．
图：D:\My Documents\My Pictures\50755fcb.jpg