Question

数学归纳法问题

我用M.I.证了1x2+2x3+3x4+......+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3

和1x2x3+2x3x4+3x4x5+......+n(n+1)(n+2)=n(n+1)(n+2)(n+3)/4

之后猜想 1x2x3x4+2x3x4x5+.......n(n+1)(n+2)(n+3)=n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)/5
又得证,便想 会不会 1x2x...(1+r)+2x3x...(2+r)+......+n(n+1)...(n+r)
=n(n+1)(n+2)...(n+r+1)/r+2

可是又不会证 请求高人指点

Answer 1

1x2x...(1+r)+2x3x...(2+r)+......+n(n+1)...(n+r)
=n(n+1)(n+2)...(n+r+1)/r+2 是对的
要注意的是 要证明的是对所有n成立，而不是对所有r 成立 ，n是主要变量 ，r是参变量，不要被形式迷惑了
这个公式是通用形式，取r=1 时 ，就是 1x2+2x3+3x4+......+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3
取r=2时就是1x2x3+2x3x4+3x4x5+......+n(n+1)(n+2)=n(n+1)(n+2)(n+3)/4，r可以取所有正整数 ，该公式是r的恒等式，与r的取值无关，就像x =x +1 -1 不管x取什么值都成立，我们不管r 的具体取值，而是把r看成一个固定的数(我们不用管它是几，也不知道它是几，就像上面 x 一样），直接对r去证明该式成立

用数学归纳法证 1x2x...(1+r)+2x3x...(2+r)+......+n(n+1)...(n+r) =n(n+1)(n+2)...(n+r+1)/r+2
n=1时 ，有左边 = 1x2x...(1+r) =1x2x...(1+r) (r+2)/r+2 =右边 故n=1时该式成立
假设 n=k 时原式成立，即1x2x...(1+r)+2x3x...(2+r)+......+k(k+1)...(k+r) =k(k+1)(k+2)...(k+r+1)/r+2
当 n=k+1 时 ，左边 =1x2x...(1+r)+2x3x...(2+r)+......+k(k+1)...(k+r) + (k+1)(k+2)...(k+r) (k+r+1) = k(k+1)(k+2)...(k+r+1)/r+2 + (k+1)(k+2)...(k+r) (k+r+1) =
(k+1)(k+2)...(k+r) (k+r+1) *[k/(r+2) +1] =(k+1)(k+2)...(k+r) (k+r+1) * (k+r+2) /(r+2) =右边
即n=k+1时该式也成立
故该式对所有n成立

通过证明可以看出要证明的是对所有n成立，而不是对所有r 成立 ，n是主要变量 ，r是参变量，不要被形式迷惑了，楼主的困惑就在于此吧

Answer 2

把等式变形
n(n+1)(n+2)/3-n(n+1)(n-1)/3=n(n+1) Sn-S(n-1)=an

n(n+1)(n+2)(n+3)/4-n(n+1)(n-1)/4=n(n+1)(n+2) Sn-S(n-1)=an

同理 都是这个等式

到这里了 基本上就不需要什么证明 都是恒等式
往往都是只知道左等于右 忽略了右等于左

那么这个证明 就是相当于 别人给了 （a+b）^2=a^2+2ab+b^2
你把右边写到左边 就是一个新结论了。

也正是如此，所以很多地方并没有 没有这个规律总结出来吧，明白的人 基本不用说明。

你对此类问题能思考 很不错，有机会了给你一份资料 可以把普通求和问题都能解决通项的待定系数法。

Answer 3

n=1时显然成立
设n=k时1x2x...(1+r)+2x3x...(2+r)+......+k(k+1)...(k+r) =k(k+1)(k+2)...(k+r+1)/r+2成立
那么 n=k+1时
1x2x...(1+r)+2x3x...(2+r)+......+k(k+1)...(k+r)+(k+1)(k+2)...(k+r+1)
=k(k+1)(k+2)...(k+r+1)/(r+2)+(k+1)(k+2)...(k+r+1)
=(k+1)(k+2)...(k+r+1)*[1+k/(r+2)]
=(k+1)(k+2)...(k+r+1)*(k+r+2)/(r+2)
命题成立
∴对所有的n。。。。命题得证后略