Question

已知函数f（x）对于任意x,y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y），且当x>0时，f（x）<0，f（1）=-2.

（1）判断函数的奇偶性
（2）当x∈[-3，3]时，函数f（x）是否有最值？如果有，求出其最值；如果没有，说明理由

Answer 1

（1）在f(x+y)=f(x+f(y)中令x=y=0得f(0)=2f(0) ∴f(0)=0
再用-x替换y 得f(0)=f(x)+f(-x)=0 即f(-x)=-f(x)∴f(x)是奇函数
（2）f(2)=f(1)+f(1)=-4 f(3)=f(1)+f(2)=-6
设x1<x2 则f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f(x1-x2) 因为x1>x2即x1-x2>0∴f(x1-x2)<0
所以f(x1)-f(x2)<0 ∴f(x1)<f(x2) ∴f(x)为减函数 最大值f(-3)=6 最小值f(3)=-6