Question

一道关于连续函数的题目

若f(x)在[a,b]上连续，x1,……,xn∈[a,b]且t1+t2+……tn=1,ti>0(i=1,……,n)。则在[a,b]上至少存在一点c使得f(c)=tif(x1)+……+tnf(xn)

Answer 1

假设max{f(xi),i=1,2,3...n}=M
min{f(xi),i=1,2,3.....n}=m
则(t1+t2+.....tn)m=<t1f(x1)+t2f(x2)+...tnf(xn)<=(t1+t2+...tn)M
即m<=f(c)<=M
f（c）的值介于最大最小值之间，由介值定理知
在[a,b]上至少存在一点c使得f(c)=tif(x1)+……+tnf(xn)