Question

高一数学必修一函数问题

①函数y=f(x)对于任意x,y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y)-1,当x＞0是，f(x)＞1，并且f(3)=4
(1)证明：f(x)是增函数、
(2)求f(x)在[1,2]上的最大值和最小值。
②设函数f(x)=ax²+1\bx+c是奇函数(a,b,c∈Z)，且f(1)=2,f(2)＜3，求a,b,c的值
③设二次函数f(x)=x²-4x-1在区间[t,t+2]上的最小值为g(t),试求函数y=g(t)的最小值
④已知y=f(x)是奇函数，它在(0,+∞)上是增函数，且f(x)＜0，试问F(x)=1\f(x)在(-∞,0)上是增函数还是减函数？证明结论。
⑤已知函数f(x)=x-1\x+1,x∈[1,3],求函数的最大值和最小值。

请给出详细过程。

Answer 1

【括号】里的内容为解释，解答过程中无需写
①
（1）证明：
设x1,x2∈R，x1＜x2
【f(x+y)=f(x)+f(y)-1，即f(x+y)-f(x)=f(y)-1】
f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)-1
∵x1＜x2
∴x2-x1＞0
由条件可得，f(x2-x1)＞1
∴f(x2-x1)-1＞0
即f(x2)-f(x1)＞0
∴该函数为增函数

（2）
∵该函数为增函数（已证）
∴当x=1时，f(x)取得最小值；当x=2时，f(x)取得最大值
【将3拆分成1+2，将2再拆分成1+1】
f(3)=f(2)+f(1)-1=f(1)+f(1)-1+f(1)-1=3f(1)-2=4
解得f(1)=2
f(2)=2f(1)-1=3
∴f(x)在[1,2]上的最大值为3，最小值为2。

②
∵该函数为奇函数，f(1)=(a+1)/b+c=2
∴f(-1)=(a+1)/-b+c=-2
【分子相同，结果互为相反数，则分母互为相反数】
解得c=0
f(1)=(a+1)/b=2 即a+1=2b
f(2)=(4a+1)/2b＜3
即(4a+1)/(a+1)＜3
【移项，通分，可化为(4a+1-3a-3)/(a+1)＜0即(a-2)/(a+1)＜0，分数值小于0，则分子分母异号，观察式子，分子小于分母，因而分子＜0，分母＞0】
解得-1＜a＜2
∵a∈Z，∴a=1或0
当a=0时，代入(a+1)/b=2得，b=1/2，与b∈Z矛盾，故舍去。
当a=1时，代入(a+1)/b=2得，b=1，符合。
综上所述，a=1,b=1,c=0

③
【原函数是个固定位置的图像开口向上有最小值的二次函数，因而需要分三种情况讨论，图像的对称轴在区间[t,t+2]的左边，之间，右边，因而g(t)是个分段函数。图像电脑上实在不好画，你自己画一个】
f(x)=x²-4x-1=(x-2)²-5
图像的对称轴为直线x=2
当t＞2时，这段函数为增函数，当x=t时，函数取得最小值(t-2)²-5
当t＜2＜t+2时，函数最小值为-5
当t+2＜2即t＜0时，这段函数为减函数，当x=t+2时，函数取得最小值t²-5
综上所述，
g(t)={ (t-2)²-5 t＞2
-5 t＜2＜t+2
t²-5 t＜0
【分段函数你会写的吧，那个很大的左大括号和空格实在弄不出来啊】
由分段函数解析式可得，该分段函数的最小值为-5

④
结论： F(x)=1\f(x)在(-∞,0)上是减函数
证明：
设x1,x2∈(-∞,0),x1<x2
则 -x1>-x2>0
∵f(x)在(0,+∞)上是增函数，且f(x)＜0
∴ 0>f(-x1)>f(-x2)
又f(x)是奇函数
∴ 0>-f(x1)>-f(x2)
0<f(x1)<f(x2)
∴1/f(x1)>1/f(x2)
即F(x1)>F(x2)
∴F(x)=1\f(x)在(-∞,0)上是减函数
【这个增减+奇偶什么的题目，理解不了的地方就画图】

⑤
设x1,x2∈[1,3]，x1＜x2
f(x2)-f(x1)=(x2-1)/(x2+1)-(x1-1)/(x1+1)=2(x2-x1)/(x1x2+x1+x2+1)【通分你可以的】
∵x1＜x2
∴2(x2-x1)＞0
又x1,x2∈[1,3]
∴x1x2+x1+x2+1＞0
即f(x2)-f(x1)＞0
∴该函数为增函数
∴当x=1时，函数取得最小值f(1)=0
当x=3时，函数取得最大值f(3)=1/2
综上所述，该函数的最大值为1/2，最小值为0

追问

Q号多少给下呗，以后有事多请教。（需要手工版，谢谢）
（对刚才叫你“哥们”的事表示抱歉、、、、）

追答

Q号发消息给你，手工版正在做。

Answer 2

令x=y=0,则有：f(0)=f(0)+f(0)-1
f(0)=1
再另y=-x,则有：f(0)=f(x)+f(-x)-1=1
f(x)+f(-x)=2,f(-x)=2-f(x)
任取X1，X2属于R，且X1>X2
则：
f(x1-x2)
=f(x1)+f(-x2)-1
=f(x1)+2-f(x2)-1
=f(x1)-f(x2)+1
又当x大于0，f(x)大于1，
所以f(x1-x2)==f(x1)-f(x2)+1>1
所以f(x1)-f(x2)>0
故f(x)是增函数
（2）因为f(x)是R上的增函数
所以x在[1,2]上当x取1的时候有最小值，即为x取2的时候最大值
f(3)=f(1)+f(2)-1=f(1)+f(1)+f(1)-2=4
所以f(1)=2
f(2)=f(3)-f(1)+1=4-2+1=3
所以最小值为2，最大值为3.
② 因为f(x)是奇函数，所以f(x)=-f(-x),
即（ax^2+1)/(bx+c)=-(ax^2+1)/(-bx+c),
ax^2+1≠0,解得：c=0
f(1)=(a+1)/b=2 ①
f(2)=(4a+1)/2b＜3 ②
合并①② 可解得a<2 b<3/2 （②式中要讨论b>0和b<0两种情况，其中b<0的情况不符合）
a、b∈z 所以a=b=1
∴a=b=1 c=0
③解：f（x）=x²-4x-1=（x-2）²-5，则对称轴x=2，分三种情况求解：
（1）当t≥2时，函数f（x）在区间[t，t+2]上是增函数，
∴最小值为g（t）=f（t）=t²-4t-1，
（2）当0＜t＜2时，对称轴在区间[t，t+2]内，
∴最小值为g（t）=-5，
（3）当t≤0时，函数f（x）在区间[t，t+2]上是减函数，
∴最小值为g（t）=f（t+2）=t²-5
④F(x)=1\f(x)在(-∞,0)上是减函数
证明：
先设x>=0,由题意，存在任意正数a
f(x+a)-f(x)>0 （1）

由于f是奇函数，那么f(-x-a)=-f(x+a),f(-x)=-f(x);
1/f(-x) - 1/f(-x-a) （2）
= f(-x-a)-f(-x)/f(-x)f(-x-a)
= -[f(x+a)-f(x)]/f(x)f(x+a)

由（1）以及f(x)f(x+a)>0可得（2）< 0
所以，F(x)=1\f(x)在(-∞,0)上是减函数
⑤f(x)=(x+1-2)/(x+1)
=(x+1)/(x+1)-2/(x+1)
=1-2/(x+1)

1<=x<=3
2<=x+1<=4
所以1/4<=1/(x+1)<=1/2
-1<=-2/(x+1)<=-1/2
1-1<=1-2/(x+1)<=1-1/2
0<=f(x)<=1/2
所以最大值=1/2，最小值=0

Answer 3

高一做这个？

Answer 4

你怎么给那么高分？浪费，以后不懂直接像我求助，我回答你，一次给我十分行了，你这问的，下面有人回答了，一次问这么多，

Answer 5

①
1、设x1<x2 , x2-x1=y , y>0
f(x2)-f(x1)=f(x1+y)-f(x1)=f(x1)+f(y)-1-f(x1)=f(y)-1
因为y>0,f(y)>1,所以f(y)-1>0，所以f(x2)>f(x1)
所以f(x)在整个实数区间单调递增
2、因为f(x)单调递增，所以在[1,2]区间的最大值是f(2),最小值是f(1)
f(3)=f(1)+f(2)-1=f(1)+f(1)+f(1)-1-1=4所以f(1)=2,f(2)=3
②
奇函数
f(-x)=（ax²+1）/(-bx+c)=-f(x)
（ax²+1）/(-bx+c)=-(ax²+1）/(bx+c)
（ax²+1）/(-bx+c)=(ax²+1）/(-bx-c)
所以 c=0
f(x)=（ax²+1）/bx
f(1)=(a+1)/b =2
a+1=2b
f(2)=(4a+1)/2b=(4a+1)/(a+1)<3
(4a+1)/(a+1)-3<0
(a-2)/(a+1)<0
-1<a<2
a+1是偶数，a是奇数
所以a=1，b=1
③
因为区间[t,t+2]最小值是g(t),所以区间[t,t+2]处在函数单调递增区域，
g(x)未开口朝上的抛物线，所以区间[t,t+2]处在抛物线定点的右边，g(t)的最小值就是t于抛物线定点重合的时候，x=-2，g（x）=-5
④
由题可知，f(x)在(-∞,0)上是增函数，且f（x）>0，所以F(x)=1\f(x)是减函数，且F(x)>0
⑤
设x2>x1,
f(x2)-f(x1)=(x2-1\x2+1)-(x1-1\x1+1)=[(x2-1)(x1+1)-(x1-1)(x2+1)]\(x2+1)(x1+1)
因为(x2+1)(x1+1)>0,所以式子符号取决于分子
分子展开化简得到2x2-2x1>0
所以f(x2)-f(x1)>0，f(x)是增函数
最大值为f(3)=0.5,最小值为f(1)=0

Answer 6

1.
(1) f(x+y)=f(x)+f(y)-1
令x=y=0,则有：f(0)=f(0)+f(0)-1
f(0)=1
再另y=-x,则有：f(0)=f(x)+f(-x)-1=1
f(x)+f(-x)=2,f(-x)=2-f(x)
任取X1，X2属于R，且X1>X2
则：
f(x1-x2)
=f(x1)+f(-x2)-1
=f(x1)+2-f(x2)-1
=f(x1)-f(x2)+1
又当x大于0，f(x)大于1，
所以f(x1-x2)==f(x1)-f(x2)+1>1
所以f(x1)-f(x2)>0
故f(x)是增函数
(2) 因为f(x)是R上的增函数
所以x在[1,2]上当x取1的时候有最小值，即为x取2的时候最大值
f(3)=f(1)+f(2)-1=f(1)+f(1)+f(1)-2=4
所以f(1)=2
f(2)=f(3)-f(1)+1=4-2+1=3
所以最小值为2，最大值为3.

2.
因为f(x)是奇函数，所以f(x)=-f(-x),
即（ax^2+1)/(bx+c)=-(ax^2+1)/(-bx+c),
ax^2+1≠0,解得：c=0
f(1)=(a+1)/b=2 ①
f(2)=(4a+1)/2b＜3 ②
合并①② 可解得a<2 b<3/2 （②式中要讨论b>0和b<0两种情况，其中b<0的情况不符合）
a、b∈z 所以a=b=1
∴a=b=1 c=0

3.
1)t+2<4 t<2
g(t)=f(t+2)=(t+2)^2+4(t+2)-1=t^2-5
2)t<4<t+2 2<t<4
g(t)=f(4)=-1
3)t>4
g(t)=f(t)=t^2-4t-1
4)t=2
g(t)=f(4)=-1
5)t=4
g(t)=f(4)=-1

{ t^2-5, t<2
∴g(t)= -1, 2≤t≤4
t^2-4t-1,t>4 }

4.
y=f(x)满足f(-x)=-f(x)
则，f(x)为奇函数
那么f(x)图像关于原点对称
已知f(x)在(0,+∞)上为增函数
那么，f(x)在(-∞,0)上为增函数
所以，F(x)=1/f(x)在(-∞,0)上为减函数。

证明：设x1＜x2＜0
则，-x1＞-x2＞0
已知f(x)在(0,+∞)上为增函数，且f(x)＜0
所以，0＞f(-x1)＞f(-x2)
而，f(-x1)=-f(x1)，f(-x2)=-f(x2)
所以，-f(x1)＞-f(x2)＞0
即，f(x1)＜f(x2)＜0
则，F(x1)-F(x1)=1/f(x1)-1/f(x2)=[f(x2)-f(x1)]/[f(x1)f(x2)]＞0
即，F(x1)＞F(x2)
所以，F(x)在(-∞,0)上为减函数。

5.
f(x)=(x+1-2)/(x+1)
=(x+1)/(x+1)-2/(x+1)
=1-2/(x+1)

1<=x<=3
2<=x+1<=4
所以1/4<=1/(x+1)<=1/2
-1<=-2/(x+1)<=-1/2
1-1<=1-2/(x+1)<=1-1/2
0<=f(x)<=1/2
所以最大值=1/2，最小值=0