双曲线的离心率问题
过双曲线X^2/a^2-Y^2/b^2=1(a>0,b>0)的右顶点A作斜率为-1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B、C，若向量AB=1/2*BC则双曲线的...
过双曲线X^2/a^2-Y^2/b^2=1(a>0,b>0)的右顶点A作斜率为-1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B、C，若向量AB=1/2*BC则双曲线的离心率为多少？
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右顶点坐标（a，0），过右顶点A的斜率为-1的直线l：y=-(x-a)=a-x
渐近线l1：y=bx/a，与直线l交点B：x1=a²/(a+b)，y1=ab/(a+b)
渐近线l2：y=-bx/a，与直线l交点C：x2=a²/(a-b)，y2=ab/(a-b)
向量AB=1/2向量BC，|AB|=1/2|BC|，∴y2=2y1，
即ab/(a-b)=2ab/(a+b)，得a=3b，c=√(a²+b²）=√10a/3
∴离心率e=c/a=√10/3
渐近线l1：y=bx/a，与直线l交点B：x1=a²/(a+b)，y1=ab/(a+b)
渐近线l2：y=-bx/a，与直线l交点C：x2=a²/(a-b)，y2=ab/(a-b)
向量AB=1/2向量BC，|AB|=1/2|BC|，∴y2=2y1，
即ab/(a-b)=2ab/(a+b)，得a=3b，c=√(a²+b²）=√10a/3
∴离心率e=c/a=√10/3
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物声科技2024
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若边MF1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是
F1(-c,0),F2(c,0)
F1F2=2c
所以三角形高是√3c
M(0,√3c)
所以中点N(-c/2,√3c/2)
F1(-c,0),F2(c,0)
F1F2=2c
所以三角形高是√3c
M(0,√3c)
所以中点N(-c/2,√3c/2)
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在那个直角三角形中垂线分斜边比为1:2，可以得到这条垂线的斜率为2.即b/a=2，
那么e=c/a，把它们平方再有abc的平方关系可以得到结果
根号5
那么e=c/a，把它们平方再有abc的平方关系可以得到结果
根号5
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