Question

求解一数学问题。已知函数f(x)=x^2 ，对任意实数t,gt(x)=-tx+1

（1）h(x)=(x/f(x))-gt(x)在（0,2]上时单调递减的，求实数t的取值范围。
(2) 若f(x)<m·g2(x)对任意x∈（0，1/3]恒成立，求正数m的取值范围。

Answer 1

（1）h(x)=1/x+tx-1
当t<0时，在（0,2]上，1/x递减，tx也递减，所以h(x)递减，即t<0可取；
当t=0时，h(x)=1/x+1，显然满足在（0,2]上递减，所以t=0可取；
当t>0时，1/x+tx是一个对勾函数，x>0时，在勾底x=√t的左边递减，
所以要使h(x)在（0,2]上递减，则√t≧2，得：t≧4；
综上，实数t的取值范围是：t≦0或t≧4；
（2）不等式f(x)<m·g2(x)，即：x^2<-2mx+m，即：m(1-2x)>x^2；
因为x∈（0，1/3]，所以：2x<1，所以不等式m(1-2x)>x^2两边同除1-2x，得：
m>x^2/(1-2x)，对任意x∈（0，1/3]恒成立，即m要大于x^2/(1-2x)在该区间上最大值；
（这种方法叫参变分离法，很重要）
令F(x)=(1-2x)/x^2，则x^2/(1-2x)的最大值就是F(x)在（0，1/3]上的最小值；
F(x)=1/x^2-2/x，令1/x=t，x∈（0，1/3]，则t∈[3，+∞)；
则F(x)=t^2-2t，是一个开口向上的二次函数，对称轴为t=1，
则定义域区间[3，+∞)在对称轴的右边，所以在该区间上递增；
所以当t=3时取得最小值为3，
即F(x)=(1-2x)/x^2≧3，则：x^2/(1-2x)≦3；
所以,m要大于x^2/(1-2x)在区间（0，1/3]上的最大值，即：m>3；
综上，m的取值范围是：m>3

希望能帮到你，如果不懂，请Hi我，祝学习进步！

Answer 2

(1）h(x)=1/x+tx-1
我们可知此函数在（0，√t]上单调递减
∴√t≧2
t≧4
(2)由题可知x^2<-2mx+m
∴x^2+2mx-m<0
0^2+0-m=-m<0 1/3^2+2/3m-m=1/9-1/3m≦0
∴m≥1/3

Answer 3

这是一道恒成立的问题 第一问先将H（X）>0写出来 在对其变量分离 相信第一问你应该会了

再看第二问也是一道恒成立的问题与与第一问不同的是 有三个未知量 可以通过两次的变量分离
先分离X 再在X的范围内通过T的恒成立来求出M

Answer 4

不知道