Question

如图,AB为⊙O的直径,弦CD平分∠ACB,CD交OB于点E

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Answer 1

（1）首先∠CDB=∠BDE，而∠DBE是弧AD的圆周角，∠DCB是弧DB的圆周角，因为同样的弧对应的圆周角相等，所以∠DBE=∠DBA=∠DCA,又CD平分∠ACB，所以∠DCA=∠DCB，因此∠DBE=∠DCB，△DBE与△DCB有两对应角相等，因此两三角形相似
（2）①从D点作直线CB的垂线，设垂足为H，因为AB是直径，所以∠ACB=90°。不难知道四边形DFCH是矩形。而∠ACD=1/2∠ACB=45°，所以FD=FC，DFCH是正方形。因此DF=DH，而因为弧AD=弧BD，所以AD=BD。因此RT△ADF≌RT△BDH，AF=BH。FD=CH=CB+BH=CB+AF
②令AF=x,BC=y，则FC=DF=DH=HC=x+y。AC=2x+y.不难证△ACE∽△DCB，所以AC/AE=DC/DB。(2x+y)/16=√2(x+y)/DB,又△AGF∽△DAF，因此AG/DA=AF/DF，6/DA=x/(x+y)。(2x+y)/16=√2(x+y)/DB可变换为(2x+y)/(x+y)=16√2/DB,1+x/(x+y)=16√2/DB而DA=DB,所以1+6/DA=16√2/DA，DA=16√2-6。AO=DA/√2=16-3√2即是圆O的半径

追问

请问△AGF∽△DAF从何得出，以及最后的变换过程。谢谢！

追答

第二题第二问貌似有点错误，待我修正下
过A点作BC的平行线，与BC相交于点I。而DG和BC都是AC的垂线，所以DG∥BC,因此DG∥AI。∠AIC=∠BCD(对错角相等)=45°=∠DCA=∠ICA，因此AC=AI。而GD∥AI可以推出△AEI∽△GED，因此AC/GD=AI/GD=AE/GE=16/10=1.6。△DFC是等腰直角三角形，所以∠GDE=45°=∠ACD。∠DGE=∠EBC=∠ABC=∠CAD(同一条圆弧对应圆周角相等)，因此△GDE∽△ACD，AC/GD=AD/GE=1.6。AD=1.6GE=16.而△AOD中，∠AOD是直角，∠DAO=∠DAB=∠DCB=45°，因此AO=OD=AD/√2=8√2，也就是圆O半径

追问

“与BC相交于点I”应该是“与CD的延长线交于I”吧？然后∠ABC和∠CAD对应的不是同一条圆弧吧，应该是∠ABC=∠ADC，那么得出的应该是△GDE∽△DCA，后面就不一样了

追答

……又犯这么蠢的错误了，先沿用①当中的H，过B点作圆的切线交DH于P，则∠PBA=90°。于是∠DBP=∠PBA-∠DBA=45°。∠PBH=∠DBH-∠DBP=180°-∠DBC-45°=∠CAD-45°=∠CAD-∠BAD=∠BAC=∠GAF。于是△AGF与△BPH对应三角相等，又已证BH=AF，所以△AGF≌△BPH，BP=AG=AE-GE=6。且PH=GF.连结EP，∠EDP=∠GDP-∠GDE=90°-45°=45°=∠EDG。DG=DF-FG=DH-HP=DP。又DE=DE，故△DEG≌△DEP，EP=EG=10.而△EPB是直角三角形，又勾股定理算得EB=8.于是AB=AE+EB=24，半径是AB/2=12