Question

如图，在三角形ABC中，∠ACB=90°，AD是∠BAC的平分线，CH是高，AD、CH相交于点E，DF⊥AB，垂足为F，

四边形CEFD是怎样的四边形?证明你的结论。

Answer 1

∵∠ACB＝90º，CH是高，DE⊥AB
∴∠ACB＝∠DFA＝∠CHA＝90º
∴CE∥DF
又∵AD为∠BAC平分线
∴CAD＝∠DAB
在△CAD和△DAF中
∠CAD＝∠DAB
∠ACB＝∠DFA
AD＝AD
∴△CAD≌△DAF
∴CD＝FD，∠CDA＝∠ADF，AC＝AF
又∵CE∥DF
∴ ∠CED＝∠ADF
∴∠CED＝∠CDA
∴CE＝CD
在△CAE和△EA F中
CE＝CD
∠CAD＝∠DAB
AE＝AE
∴△CAE≌△EAF
∴CE＝EF
又∵CD＝FD，CE＝CD，CE＝EF
∴CD＝FD＝CE＝EF
∴四边形CEFD是菱形

Answer 2

∵∠ACB=90°，AD是∠BAC的平分线，CH是高，DF⊥AB
∴DC=DF，DF∥CE
∵∠AEH=90º-∠BAD,∠ADC=90º-∠CAD,
∴∠ADC=∠AEH=∠CED
∴CE=CD=DF
∴四边形CEFD是平行四边形，而DF=DC
∴四边形CEFD是菱形