Question

柯西数列有界性的证明，类似收敛数列，谢

Answer 1

     先假设其无解，然后求X取极限后的值Y1，再求X取X+△X极限的值Y2（△X趋向0），发现Y1=Y2。所以假设不成立，所以有界。

      柯西极限存在准则，又称柯西收敛准则，是用来判断某个式子是否收敛的充要条件（不限于数列）。主要应用在以下方面：

（1）数列

（2）数项级数

（3）函数

（4）反常积分

（5）函数列和函数项级数

Answer 2

柯西数列满足：对任意正数ε，存在正整数N，当n，m＞N时，有|an-am|＜ε。
令ε=1，则存在正整数N，当m=N+1及n＞N时，有|an-a(N+1)|＜1.所以|an|≤|an-a(N+1)|+|a(N+1)|=
|a(N+1)|+1 取M=max{|a1|，|a2|，……，|aN|，|a(N+1)|+1}，则对任意n∈N+，都有|an|≤M。所以数列{an}有界。

Answer 3

先假设其无解，然后求X取极限后的值Y1，再求X取X+△X极限的值Y2（△X趋向0），发现Y1=Y2。所以假设不成立，所以有界