Question

对 f（x），x y∈R有f（x.y）=f（x)+f(y） 当x＞1时，f（x）＞0. （1)判断奇偶性 。 （2）判断f（x）在(0,

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对 f（x），x y∈R有f（x.y）=f（x)+f(y） 当x＞1时，f（x）＞0.
（1)判断奇偶性 。
（2）判断f（x）在(0,正无穷）的单调性

Answer 1

解：
(1) 取x = y = 1 代入f（x.y）=f（x)+f(y）得：
f(1) = 2f(1) 即f(1) = 0
取x = y = -1 代入f（x.y）=f（x)+f(y）得：
f(1) = 2f(-1) 即f(-1) = 0
取y = -1 代入f（x.y）=f（x)+f(y）得：
f(-x) = f(x) + f(-1) = f(x)
所以 f(x) 在x∈R为偶函数。
(2) 当x>0时，对任意的x有
f(1) = f(x/x) = f(x) + f(1/x) =0
即 f(1/x) = - f(x)
设 0<x1<x2
则f(x2/x1) = f(x2) + f(1/x1) = f(x2) - f(x1) (*)
因为 0<x1<x2,则(x2/x1) > 1
又因为 当x＞1时，f（x）＞0，所以
(*)式>0,即 f(x2) - f(x1) >0,即 f(x2) > f(x1)
所以f(x在(0,)在(0,∝)为增函数。

PS：参照函数f(x) = ln|x| (x≠0)理解起来会更简单

Answer 2

f(0*-1)=f(0)+f(-1)得：f(-1)=0 f(-1*x)=f(-1)+f(x) 即f(-x)=f(x).故为偶函数
设x>1,y>0..有xy>y,,f(xy)=f(y)+f(x) f(xy)-f(y)=f(x)>0,所以在（0，正无穷）函数单调递增

Answer 3

（1）令x=1，y=-1，可得f(1)=0;
令x=y=-1；可得f(-1)=0;
令y=-1，得f(-x)=f(x);
所以为偶函数
（2）令x=y=0,得f(0)=0;取x1，x2，x1<x2,则x2/x1>1,
f(x2)=f(x1*(x2/x1))=f(x1)+f(x2/x1),又f(x2/x1)>0
所以f(x2)>f(x1)
所以为增函数

Answer 4

是f(xy)还是f(x-y)