Question

设函数f(x)的定义域是(0,+∞),对任意正实数m,n恒有f(mn)=f(m)+f(n)，且当x＞1时，f(x)>0，f(2)=1

求方程4sinx=f（x）的根的个数。

Answer 1

解：（1）令m=n=1，则f（1）=f（1）+f（1），

∴f（1）=0（2分）

令$m=2，n=\frac{1}{2}$，则$f（1）=f（2×\frac{1}{2}）=f（2）+f（\frac{1}{2}）$，

∴$f（\frac{1}{2}）=f（1）-f（2）=-1$（4分）

（2）设0＜x1＜x2，则$\frac{x_2}{x_1}＞1$

∵当x＞1时，f（x）＞0

∴$f（\frac{x_2}{x_1}）＞0$（6分）

$f（{x_2}）=f（{x_1}×\frac{x_2}{x_1}）=f（{x_1}）+f（\frac{x_2}{x_1}）＞f（{x_1}）$（9分）

所以f（x）在（0，+∞）上是增函数（10分）

（3）∵y=4sinx的图象如右图所示

又f（4）=f（2×2）=2，f（16）=f（4×4）=4

由y=f（x）在（0，+∞）上单调递增，

且f（1）=0，f（16）=4可得y=f（x）的图象大致形状如右图所示，

由图象在[0，2π]内有1个交点，

在（2π，4π]内有2个交点，

在（4π，5π]内有2个交点，又5π＜16＜6π，

后面y=f（x）的图象均在y=4sinx图象的上方．

故方程4sinx=f（x）的根的个数为5个（16分）

Answer 2

f（x）=4sinx 好像与条件f(2)=1不符....

追问

为什么？

追答

我理解错了！f(x)与4sinx是两个不同的函数。你需要先根据条件判断f(x)的大致属性。再计算f(x)与4sinx的交点个数。