Question

如图，在△ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90°，D是BC边的中点，E是AB边上一动点，则EC+ED的最小值是？

如图，在△ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90°，D是BC边的中点，E是AB边上一动点，则EC+ED的最小值是？

Answer 1

作FC⊥BC于C,使CF=CD,连接BF.

∵BF²=BC²+CF²=2²+1²=5

∴BF=√5

∵EF=DF

∴EC+ED=BF=√5

Answer 2

1 将图补成一个正方形，三角形EDB全等于三角形EBD'.
所以ED=ED'
所以最短为CD'=根号5

2
过点C作CO⊥AB于O，延长CO到C′，使OC′=OC，连接DC′，交AB于E，
此时DC′=DE+EC′=DE+CE的值最小．
连接BC′，易证BC′⊥BC，
根据勾股定理可得DC′=√ 2²+1²=√5

两种做法原理是一样的

Answer 3

在△ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90°，D是BC边的中点，E是AB边上一动点，则EC+ED的最小值是？
解：过D作DP⊥AB ，P为垂足；再将DP 延长一倍至F，使PF=DP；连接CF与AB相交于E，那么
这个位置就是使EC+ED最小的位置；此时：
EC+ED=EC+EF=CF=√[CD²+DF²-2CD×DFcos∠CDF]
其中，CD=1，DF=2DP=2DBcos45°=√2，cos∠CDF=cos135°=-cos45°=-√2/2，代入上式即得：(EC+ED)min=CF=√[1+2+2×1×(√2)×(√2)/2]=√(1+2+2)=√5
下面证明√5是EC+ED的最小值。
现在偏离所取的位置在AB上任找一点E′，连接CE′，DE′，FE′，按作图法，AB是DF的垂直平分线，故CE′+DE′=CE′+FE′>CF=√5(CE′E是三角形，三角形两边之和必大于第三边).