Question

已知函数f(x)=2/x-1 （1）判断f（x）在（0，+∞）上的单调性并加以证明； （2）求f（x）的定义域、值域；

已知函数f(x)=2x-2/x 证明f(X)在（0，正无穷大上）为增函数
有2道题 题目一题 下面还有 一题 拜托大家了

Answer 1

f(x) = 2/x - 1
∵x在定义域内单调增，∴f(x) = 2/x - 1在定义域内单调减
证明：
令0＜x1＜x2
f(x2)-f(x1) = （2/x2 - 1）-（ 2/x1 - 1）
= 2/x2 - 2/x1
= 2(x1-x2)/(x1x2)
∵0＜x1＜x2
∴x1-x2＜0，x1x2＞0
∴f(x2)-f(x1) =2(x1-x2)/(x1x2)＜0
,∴f（x）在（0，+∞）上单调减

分母不为零：x≠0
定义域：（-∞，0）U（0，+∞）
x≠0，∴y≠-1
值域（-∞，-1）U（-1，+∞）

f(x) = 2x - 2/x
令0＜x1＜x2
f(x2)-f(x1) = （2x2 - 2/x2）-（2x1 - 2/x1）
= 2(x2-x1)+2(1/x1-1/x2)
=2(x2-x1)+2(x2-x1)/(x1x2)
∵0＜x1＜x2
∴∴x2-x1＞0，x1x2＞0
∴f(x2)-f(x1) =2(x2-x1)+2(x2-x1)/(x1x2)＞0
∴f（x）在（0，+∞）上单调增

Answer 2

解 设X1 X2 为定义域（0，+∞）上任意两实数 且X1>X2>0
则 f(x1)-f(x2)=2（X1-X2）+2(X1-X2)/X1X2-----通分得到
提公因式=2（X1-X2)(1+1/X1X2)
由于X1>X2>0
则X1-X2>0 1+1/X1X2>0
f(x1)-f(x2)>0
所以，，，增函数
第一道仿造这个一样
设就省了哈
f(x1)-f(x2)=2/X1-2/X2
=2（X2-X1)/X1X2
同理一样的 2（X2-X1)/X1X2<0
所以，，，减函数
由于分母不为零 所以定义域：（-∞，0）U（0，+∞）
x≠0，∴y≠-1
值域（-∞，-1）U（-1，+∞）
定义域一般过看然后推值域 ，值域还有很多种方法求 应该老师会讲的
这个证明单调性就是 设 然后作差 判断符号（其中就是要通分，提公因式之类的很麻烦，但是肯定能化出来）
再后面有些大题解决还需要这个

Answer 3

2x为增 2/x为减 所以-2/x为增
所以2x+(-2/x)为增

Answer 4

先证明第二题：
令x1>x2>0; 则f(x1)-f(x2)=(2 x1-2/ x1)-（2 x2-2/ x2）=2(x1-x2)+2(1/ x2 - 1/x1);
因为x1-x2>0, 1/x2-1/x1>0,所以f(x1)-f(x2)>0,
所以单增。

第一题：
先分区间 （0,1）和（1，正无穷），
在0到1上，令x1>x2, f(x1)-f(x2)=2* (x2-x1)/ ((x1-1)(x2-1)),
（x1-1）*(x2-1)>0,x2-x1<0,所以f(x1)<f(x2),所以在0到1上单减；
在1到正无穷上，同样的方法，得到也是单减少的。

定义域是（0,1）和（1，正无穷）
值域是 x=0,值为-2，x趋于1时，值为负无穷，此时值区域为（负无穷，-2），

在1到正无穷上，显然值域是（0，正无穷），

所以值域为（负无穷，-2）并（0，正无穷）