已知集合A={x|x^2-ax+a^2-19=0},B={x|x^2-5x+6=0},C={x|x^2+2x-8=0}
(1)若A∩B=A∪B,求实数a的值(2)空集真包含于A∩B,A∩C=空集,求实数a的值。详细过程...
(1)若A∩B=A∪B,求实数a的值
(2)空集真包含于A∩B,A∩C=空集,求实数a的值。
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(2)空集真包含于A∩B,A∩C=空集,求实数a的值。
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∵A={x|x^2-ax+a^2-19=0},B={x|x^2-5x+6=0}
又∵x^2-5x+6=(x-2)(x-3)=0
∴B={2,3}
又∵A∩B=A∪B可知A中一定含有2,3
∴2^2-2a+a^2-19=0 3^2-3a+a^2-19=0
∴a=-3或a=5或a=-2
(2)∵空集真包含于A∩B,A∩C=空集
∴A∩B≠Φ
x^2+2x-8=(x-2)(x+4)=0
∴C={2,-4}
∴A中一定不含有2,-4 一定含有3
∴ 3^2-3a+a^2-19=0
∴a=-2或a=5
代入检验得:a=-2
又∵x^2-5x+6=(x-2)(x-3)=0
∴B={2,3}
又∵A∩B=A∪B可知A中一定含有2,3
∴2^2-2a+a^2-19=0 3^2-3a+a^2-19=0
∴a=-3或a=5或a=-2
(2)∵空集真包含于A∩B,A∩C=空集
∴A∩B≠Φ
x^2+2x-8=(x-2)(x+4)=0
∴C={2,-4}
∴A中一定不含有2,-4 一定含有3
∴ 3^2-3a+a^2-19=0
∴a=-2或a=5
代入检验得:a=-2
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首先,B={x/x^2-5x+6=0}={x|(x-2)×(x-3)=0}={2,3},C={x/x^2+2x-8=0}={x|(x+4)×(x-2)=0}={-4,2};
然后,要使A与B的交集不是空集和A与C的交集是空集同时成立,则3属于A而-4和2不属于A。
将x=3带入x^2-ax+a^2-19=0得a^2-3a-10=0,则a=5或-2。当a=5时,A={x/x^2-5x+6=0}=B包含了2所以不满足题意;当a=-2时,A={x/x^2+2x-15=0}={x|(x+5)×(x-3)=0}={-5,3}满足题意。
综上所述,a=-2时满足题意
然后,要使A与B的交集不是空集和A与C的交集是空集同时成立,则3属于A而-4和2不属于A。
将x=3带入x^2-ax+a^2-19=0得a^2-3a-10=0,则a=5或-2。当a=5时,A={x/x^2-5x+6=0}=B包含了2所以不满足题意;当a=-2时,A={x/x^2+2x-15=0}={x|(x+5)×(x-3)=0}={-5,3}满足题意。
综上所述,a=-2时满足题意
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