Question

若f(x)是定义在(0,正无穷)上的增函数,且对一切x,y>0

若f(x)是定义在0到正无穷上的增函数，且对一切x,y>0,满足f(x/y)=f(x)-f(y) 问：若f(6)=1,解不等式f(x+3)-f(1/3)<2

Answer 1

一楼回答有误！
令x=y则
f(x/x)=f(1)=f(x)-f(x)=0
f(x+3)-f(1/3)=f(3x+9)<2
由f(x/y)=f(x)-f(y)
得f(x)=f(x/y)+f(y)
f(6)+f(6)=2
即f(36/6)+f(6)=2
∴f(36)-f(6)+f(6)=2
∴f(36)=2
原不等式可化为
f(3x+9)<f(36)
∵f(x)是定义在0到正无穷上的增函数
∴3x+9<36且x+3>0
∴此不等式的解集为{x|-3<x<9}

追问

为什么 x+3要>0

追答

f(x)是定义在(0,正无穷)上的增函数

Answer 2

f(x)是定义在0到正无穷上的增函数，且对一切x,y>0,满足f(x/y)=f(x)-f(y)
令x=y=1
f(1)=f(1)-f(1)=0
f(1)=0
f(6)=1
令x=36,y=6
f(36/6)=f(36)-f(6)
f(6)=f(36)-f(6)
2f(6)=f(36)
f(36)=2
f(x+3)-f(1/3)<2
对一切x,y>0,满足f(x/y)=f(x)-f(y)
f[(x+3)/(1/3)]<2=f(36)
f(3x+9)<f(36)
f(x)是定义在0到正无穷上的增函数
所以
3x+9<36
3x<27
x<9
f(x)是定义在0到正无穷上的增函数
所以x>0
所以不等式的解为
0<x<9

Answer 3

f(x/y)=f(x)-f(y)设x=1，y=1则f(1)=f(1)-f(1)所以f(1)=0
f(x+3)-f(1/3)<2=2f(6)
f(x+3)-f(1/3)-f(6)<f(6)
f(3x+9)-f(6)<f(6)
f(x/2+3/2)<f(6)
因为此函数为增函数，所以x/2+3/2<6
x<9
因为x定义在(0,正无穷)上，所以x取值范围为(0，9)

Answer 4

由f(x/y)=f(x)-f(y)
得f(x)=f(x/y)+f(y)
f(6)+f(6)=2
即f(36/6)+f(6)=2
所以f(36)=2
原不等式化为
f((x+3)/(x-3))<f(36)
所以有
(x+3)>0=======>x>-3
(x-3)>0=======>x>3
(x+3)/(x-3)<36==>x>111/35
所以 x>111/35

希望能帮到你，祝学习进步O(∩_∩)O,也别忘了采纳！

Answer 5

f(6)=f(36)-f(6) => f(36)=2;
f(x+3)-f(1/3)<2 <=> f(3x+9)<f(36) 且x+3>0 <=> 0<3x+9<36 且x+3>0 <=> -3<x<9