Question

极坐标下 积分求椭圆的面积

是我不会积分，还是是错的，请大家帮忙看看！
例如椭圆方程 x²/a² + y²/b² = 1 令x=rcosθ ，y=rsinθ 所以 r² = (ab)²/(a²sinθ + b²cosθ)
第一象限的椭圆面积=1/2∫r²dθ 上下限从0到π/2 这个积分的答案应该是πab/4 但是我写不出过程，求解答！

Answer 1

这个要用到二重积分。很明显有两个变量需要积分。r不是一直等于r² = (ab)²/(a²sinθ + b²cosθ)。

他要从零开始变化，然后逐渐增大到椭圆边界。积分得用椭圆域的极坐标来做，
令x=arcosθ，y=brsinθ

因为s=∫∫dxdy=∫∫abrdrdθ

S=∫(0->2π)dθ∫(0->1)abrdr
=πab