Question

如图,等边三角形ABC中,AE=CD,AD、BE相交与点P,BQ垂直AD于点Q，证明：(1)角ABE=角CAD（2）BP=2PQ

Answer 1

：∵△ABC为等边三角形，

∴∠BAC=∠C=60°，AB=AC．

又∵AE=CD，∴△ABE≌△CAD（SAS）

∴∠ABE=∠CAD，BE=AD（全等三角形的对应角，对应边相等）

∵∠BPQ是△ABP的外角

∴∠BPQ=∠BAP＋∠ABE=∠BAP＋∠PAE=∠BAC=60°，

∵PQ⊥BQ

∴∠PBQ=30°．

又∵BQ⊥PQ，∴PB=2PQ

Answer 2

：∵△ABC为等边三角形，

∴∠BAC=∠C=60°，AB=AC．

又∵AE=CD，∴△ABE≌△CAD（SAS）

∴∠ABE=∠CAD，BE=AD（全等三角形的对应角，对应边相等）

∵∠BPQ是△ABP的外角

∴∠BPQ=∠BAP＋∠ABE=∠BAP＋∠PAE=∠BAC=60°，

∵PQ⊥BQ

∴∠PBQ=30°．

又∵BQ⊥PQ，∴PB=2PQ

Answer 3

解：
因为AB=AC,AE=CD,∠BAE=∠ACD=60度
所以△BAE与△ACD是全等三角形
则：∠ABE=∠CAD
又∠AEB=∠PEA
所以：△BAE与△APE是相似三角形
则：∠APE=∠BAE=60度
所以：∠APE=∠BPQ=60度
则在Rt△BPQ中，∠PBQ=30度
因为：sin∠PBQ＝PQ/BP=1/2
所以：BP=2PQ