Question

如图，等腰三角形ABC的顶角∠A=36°。⊙O和底边BC相切于BC的中点D，并于两腰相交于E,F,G,H四点，其中点G,F

如图，等腰三角形ABC的顶角∠A=36°。⊙O和底边BC相切于BC的中点D，并于两腰相交于E,F,G,H四点，其中点G,F分别是两腰AB，AC的中点。求证：五边形DEFGH是正五边形

Answer 1

连结DF、DG
∵G、F、D分别是AB、AC、BC中点
∴AG∥FD，GD∥AF
∴四边形AGDF是平行四边形
∵AG=AF
∴平行四边形AGDF是菱形
∴∠BGD＝∠FDG＝∠CFD＝∠A＝36°
∵BC是切线
∴∠CDE＝∠CFD＝36°
而∠FDC＝∠B＝72°
∴∠EDF＝36°
同理：∠GDH＝36°
∴∠BGD＝∠CFD＝∠EFD＝∠FDG＝∠GDH＝36°
∴弧HD＝弧DE＝弧EF＝弧FG＝弧GH
即D、E、F、G、H将⊙O五等分
∴五边形DEFGH是正五边形

Answer 2

证明：连接DF、DG
∵AB=AC，∠A=36°，∴∠ABC=∠ACB=72°
∵G、F分别为AB、AC中点∴GF∥BC且GF=BD=CD
∵GF∥BC∴∠AGF=∠ABC=∠AFG=72°
∵AG=BG，∠AGF=∠ABC，GF=BD
∴△AGF≌△GBD∴BG=AG=AF=DG，同理可证AF=CF=DF=GD
∴∠BGD=∠A=36°
根据弦切角定理，∠BDH=∠BGD=36°，∴∠BHD=180°-∠ABC-∠BDH=180°-72°-36°=72°
∴BD=HD
同理可证，DE=DC
∵DG=DF∴∠DGF=∠DFG=72°∴∠GDF=36°
∵GF∥=BC∴四边形GFCD为平行四边形
∴∠GDC=∠GFC=108°
∴∠EDF=∠GDC-∠GDF-∠CDE=108°-36°-36°=36°=∠DFE
∴DE=EF
∴DE=EF=GF=GH=HD=BD=DC
且∠DEF=∠EFG=∠FGH=∠GHD=∠HDE=108°
∴五边形EFGHD为正五边形。

Answer 3

证明：连接DG、DF

∵AB=AC,∠A=36°

∴∠B=∠C=72°

∵G、F分别是AB、AC的中点

D是BC的中点

∴DG//AC,DF//AB

∴∠BGD=∠A=∠DFC=36°

∠BDG=∠C=72°

∠CDF=∠B=72°

∴∠GDF=36°

∵圆O和BC切于点D

∴∠BDH=∠DGB=36°，

∠CDE=∠DFC=36°

∴∠HDG=∠FDE=36°

∴弧DH=弧HG=弧GF=弧FE=弧ED

∴DH=HG=GF=FE=ED

即五边形DEFGH是正五边形

Answer 4

连结DF、DG
易证四边形AFDG是菱形
∴∠BGD＝∠FDG＝∠CFD＝∠A＝36°
∵BC是切线
∴∠CDE＝∠CFD＝36°
而∠FDC＝∠B＝72°
∴∠EDF＝36°
同理：∠GDH＝36°
∴∠BGD＝∠CFD＝∠EFD＝∠FDG＝∠GDH＝36°
∴弧HD＝弧DE＝弧EF＝弧FG＝弧GH
即D、E、F、G、H将⊙O五等分
∴五边形DEFGH是正五边形

Answer 5

证明：连接DG、DF

∵AB=AC,∠A=36°

∴∠B=∠C=72°

∵G、F分别是AB、AC的中点

D是BC的中点

∴DG//AC,DF//AB

∴∠BGD=∠A=∠DFC=36°

∠BDG=∠C=72°

∠CDF=∠B=72°

∴∠GDF=36°

∵圆O和BC切于点D

∴∠BDH=∠DGB=36°，

∠CDE=∠DFC=36°

∴∠HDG=∠FDE=36°

∴弧DH=弧HG=弧GF=弧FE=弧ED

∴DH=HG=GF=FE=ED

即五边形DEFGH是正五边