Question

已知函数f(x)对于一切x,y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y).且当x>0时，f(x)<f(1)=-2.判断函数奇偶性

Answer 1

等式f(x+y)=f(x)+f(y).中的x,y可以用任何数字或字母来替换；
令y=0代入上式，得：f(x)=f(x)+f(0)，所以：f(0)=0；
令y=-x代入上式，得：f(0)=f(x)+f(-x)，因为f(0)=0，
所以f(x)+f(-x)=0，
即：f(-x)=-f(x)，所以是奇函数；
（当x>0时，f(x)<f(1)=-2. 这个条件用不到，除非要求判断单调性）

补充：如果要判断单调性，则如下：
令x1<x2，则x2-x1>0，因为当x>0时，f(x)<f(1)=-2.，所以f(x2-x1)<-2<0；
因为x2=(x2-x1)+x1，所以f(x2)=f[(x2-x1)+x1]
=f(x2-x1)+f(x1)
即：f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)<0，
即证得，x1<x2时，f(x1)>f(x2)；
所以f(x)单调递减

希望能帮到你，如果不懂，请Hi我，祝学习进步！

Answer 2

令x=y=0
f(0)=f(0)+f(0),f(0)=0
令x=x,y=-x
f(0)=f(x)+f(-x)
f(x)=-f(-x)
函数在R上为奇函数