Question

若一次函数f(x)满足f[f(x)]=1+2x,求函数f(x)的解析式

Answer 1

设一次函数f(x)=kx+b,→
f[f(x)]=k(kx+b)+b=k*kx+kb+b=2x+1
∴k*k=2,k=±√2
kb+b=1,b(k+1)=1,b=1/(k+1)
k=√2,时b=√2-1,k=-√2时,b=-(√2+1)
∴f(x)=√2x+(√2-1)或
f(x)=-√2x-(√2+1)

Answer 2

f(x)为一次函数
设f(x)=kx+b
f(f(x))=1+2x
f(kx+b)=1+2x
k(kx+b)+b=1+2x
(k^2-2)x+bk+b-1=0
对所有的x都满足,
所有
k^2-2=0
kb+b-1=0
k=根号2,
b=根号2-1
k=-根号2,
b=-根号2-1
f(x)=根号2x+根号2-1
或者
f(x)=-根号2x-根号2-1

Answer 3

解：设f（x）=kx+b
∴f[f(x)]
=k（kx+b）+b
=k
2
x+kb+b
=k
2
x+(k+1)b…①
依题意：f[f(x)]=1+2x…②
∴比拟①和②的系数可得：
k
2
=2…③
（k+1）b=1…④
由③得：
（1）若k=√2，则b=√2
-1
（2）若k=-√2，则b=-√2
-1
∴
f(x)=√2x+√2
-1或f(x)=-√2x-√2
-1