Question

设二次函数f(x)=ax^2 +bx+c(a,b,c∈R)，已知不论α,β为何实数恒有f(sinα)≥0和f(2+cosβ)≤0

（1）求f(1)的值（2）求证：c≥3a（3）若a>0，函数f(sinα)的最大值为8，求b的值

Answer 1

1、已知：不论α,β为何实数恒有f(sinα)≥0和f(2+cosβ)≤0取α=π/2,β=π，那么sinα=1，2+cosβ=1即f(1)≥0且f(1)≤0我们得到：f(1)=02 、二次函数f(x)=ax^2 +bx+c(a,b,c∈R)由f(1)=0，得到： a+b+c=0......(A)已知：不论α,β为何实数恒有f(sinα)≥0和f(2+cosβ)≤0取β=0，那么2+cosβ=3,f(3)≤0即：9a+3b+c≤0......(B)由（A）得b=-a-c，代入（B）得：9a-3a-3c+c≤0化简就有：c≥3a3、已知：不论α,β为何实数恒有f(sinα)≥0和f(2+cosβ)≤0-1≤sinα≤1，1≤2+cosβ≤3那么：在区间[-1，1]上，f(x)≥0，在区间[1，3]上，f(x)≤0......(C)若a>0，那么二次函数f(x)=ax^2 +bx+c(a,b,c∈R)的图象是开口向上的抛物线f(1)=0，那么该抛物线与x轴的一个交点是（1，0）联系到（C），在点（1，0）的左边，横坐标在区间（-1，1）内，对应的抛物线一段在x轴上方，在点（1，0）的右边，横坐标在区间（1，3）内，对应的抛物线一段在x轴下方我们推断出抛物线的对称轴在（1，3）的右边此时，函数f(x)在区间[-1，1]上是减函数，在区间[-1，1]上的最大值是f(-1)因为f(sinα)的最大值为8，-1≤sinα≤1，那么f(x)在[-1，1]上的最大值是8得到f(-1)=8，即：a-b+c=8......(D)由（A）-（D）得：2b=-8，求出b=-4

Answer 2

1、f(x)=x^2+bx+c
由f(sinα)≥0可知 在区间（-1，1）上 f(x)≥0；
由f(2+cosβ)≤0可知 在区间（1，3）上 f(x)≤0；
所以f(1)=1+b+c=0
所以b+c=-1.①
2、由在区间（1，3）上 f(x)≤0得f(3)=9+3b+c≤0 ②
由①②解得c≥3
3、由二次函数f(x)=x^2+bx+c单调性可知f(sinα)的最大值在f(-1)处取得
所以f(-1)=1-b+c=8 ③
由①③解得 b=-4,c=3