Question

已知f(x)=x^2＋︱x－a︱＋1 (1)判断f(x)的奇偶性 （2）求f(x)的最小值

Answer 1

(1)
f(-x)=(-x)^2+|-x-a|+1=x^2+|x+a|+1
若a=0，则f(-x)=x^2+|x|+1，则f(x)是偶函数
若a≠0，与f(x)=x^2+|x-a|+1没有符合奇偶函数特性
∴f(x)是非奇非偶函数

(2)
x>=a
f(x)=x^2+x-a+1=(x+1/2)^2-a+3/4
a<=-1/2,则x=-1/2,f(x)最小=-a+3/4
a>-1/2,则函数在对称轴右侧，递增
所以x=a,f(x)最小=a^2+1

x<a
f(x)=x^2-x+a+1=(x-1/2)^2+a+3/4
a>=1/2,则x=1/2,f(x)最小=a+3/4
a<1/2,则函数在对称轴左侧，递减
所以x=a,f(x)最小=a^2+1

综上
a<=-1/2,f(x)最小=-a+3/4
-1/2<a<1/2,f(x)最小=a^2+1
a>=1/2,f(x)最小=a+3/4

Answer 2

因为二次函数只可能为偶函数而它的的对称轴不是y轴，所以既不是奇函数也不是偶函数。
当x>=a时f(x)=x^2+x-a+1,其中当a>=-1/2时，f(x)在[a,正无穷）上单调增，f(x)的最小值为f(a)=a^2+1;当a<-1/2时，f(x)在[a,-1/2]上单调减，在[-1/2,正无穷）上单调增，f(x)的最小值为f(-1/2)=3/4-a
当x<a时f(x)=x^2-x+a+1,其中当a>=1/2时，f(x)在（负无穷，1/2]上单调减，在(1/2,a)上单调增,f(x)的最小值为f(1/2)=a+3/4,当a<1/2时，f(x)在（负无穷，a)上单调减,f(x)的最小值为f(a)=a^2+1
综上所述。。。