Question

若x,y,z＞0,且x²+y²+z²=1 ，则1/x²+1/y²+1/z²的最小值为什么

若x,y,z＞0,且x²+y²+z²=1
，则1/x²+1/y²+1/z²的最小值为什么

Answer 1

设t=1/x2+1/y2+1/z2
则3-t=（x2-1）/x2+（y2-1）/y2+（z2-1）/z2
因为x2-1=-y2-z2；y2-1=-x2-z2；z2-1=-x2-y2
所以3-t=（-y2-z2）/x2+（-x2-z2）/y2+（-x2-y2）/z2
所以t-3=（y2+z2）/x2+（x2+z2）/y2+（x2+y2）/z2
=（y/x）2+（x/y）2+（z/x）2+（x/z）2+（y/z）2+（z/x）2
因为a2+（1/a）2大于等于2a*（1/a）=2
所以t-3大于等于2+2+2=6
所以t大于等于9
即1/x2+1/y2+1/z2的最小值为9