Question

高数，定义证明极限。

证明：lim三次根号下X，当X趋近于8时的极限为2.
再遇见根号的一般该如何去证。

Answer 1

证明：对任意的ε>0，令│x-8│<1，则7<x<9。解不等式
│x^(1/3)-2│=│(x-8)/(x^(2/3)+2x^(1/3)+4)│<│x-8│/4<ε
得│x-8│<4ε，取δ=min{1，4ε}。
于是，对任意的ε>0，存在δ=min{1，4ε}。当│x-8│<δ时，有│x^(1/3)-2│<ε
故 lim(x->8)[x^(1/3)]=2。

追问

我需要一些思路，thank you~

追答

对于此题来说，解题思路就是：尽量应用缩放法，把│x^(1/3)-2│中分子变为│x-8│，分母变为常数。用定义证明此类题都是使用此种方法。你可以多看看这类题型证明方法。

追问

│x^(1/3)-2│=│(x-8)/(x^(2/3)+2x^(1/3)+4)│，那这个式子中的分母是解方程解出来的？如果不是，这个式子是怎么得到的.(分母很复杂啊)

追答

应用的是立方差公式a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²)。应用此题中，令a=x^(1/3)，b=2，就行了。