Question

关于线性代数问题，拜托大家帮帮忙啦

1.设，A,B均是n阶矩阵，且r(A)+r(B)<n,证明方程组Ax=0和Bx=0有非零公共解。
证明：构造齐次线性方程组
Ax=0
Bx=0

设a1,a2,....ai和b1,b2,....bs分别是矩阵A和B行向量组的极大无关组，
那么矩阵 A
B 的行向量组可以由a1,a2,....ai，b1,b2,....bs线性表出，从而

矩阵 A 秩<=r (a1,a2,....ai，b1,b2,....bs)<=r(A)+r(B)<n
B

所以方程组 Ax=0
Bx=0 有非零解，即Ax=0和Bx=0有非零公共解。

我想问的是（1）那么矩阵 A
B 的行向量组可以由a1,a2,....ai，b1,b2,....bs线性表出
（2）矩阵 A 秩<=r (a1,a2,....ai，b1,b2,....bs)
B
这两步怎么来的，有没有什么相关定理之类的，麻烦说详细点，谢谢啦，
大家多多帮忙啦

Answer 1

(1) 因为 a1,a2,....ai和b1,b2,....bs分别是矩阵A和B行向量组的极大无关组
所以 A 的行向量组 可由 a1,a2,....ai 线性表示
B 的行向量组 可由 b1,b2,....bs 线性表示
所以 矩阵 A
B
的行向量组可以由a1,a2,....ai，b1,b2,....bs线性表出
--- 这个易知

(2) 由(1) 继续
所以 矩阵 A
B
的行向量组的秩 <= r (a1,a2,....ai，b1,b2,....bs)
-- 这是定理
-- 向量组A若可由向量组B线性表示, 则 r(A) <= r(B).
所以 矩阵 A 秩<=r (a1,a2,....ai，b1,b2,....bs)
B
-- 矩阵的秩 等于矩阵的行向量组的秩, 等于矩阵的列向量组的秩.