Question

关于线性代数问题，希望各位帮帮忙

设二次型f（x1，x2，x3）=x1*x1+2*x2*x2+x3*x3+2*t*x1x2+2*x1*x3的矩阵是奇异矩阵。 1）求二次型矩阵A和t的值；2）根据t的值，求一个可逆矩阵P和一个对角矩阵Λ，使得P-1 A P= Λ ；3）求A^n 。（n>=2） 【P-1 表示P的逆矩阵】

Answer 1

解: (1) 二次型的矩阵 A =
1 t 1
t 2 0
1 0 1
由A奇异知 |A| = 0.
而 |A| = -t^2
所以 t=0

(2) 此时 A=
1 0 1
0 2 0
1 0 1

|A-λE|=-λ(λ-2)^2.
所以A的特征值为 λ1=0,λ2=λ3=2.

对λ1=0, AX=0的基础解系为: a1=(1,0,-1)'
对λ2=λ3=2, (A-2E)X=0的基础解系为: a2=(0,1,0)',a3=(1,0,1)'

令P=(a1,a2,a3), Λ=diag(0,2,2)
则P可逆, 且 P^-1AP = Λ.

(3) A^n = (PΛP^-1)^n = PΛ^nP^-1 = Pdiag(0,2^n,2^n)P^-1 =
2^(n-1) 0 2^(n-1)
0 2^t 0
2^(n-1) 0 2^(n-1)

哈哈 一分都不出你哈

Answer 2

先写出A={1，t,1;t,2,0;1,0,1},令DET（A）=0，解出t，下面就是求特征根特征向量的事了