Question

等腰三角形ABC的直角边AB=BC=10厘米，点P,Q分别从A,C两点同时出发，均以1厘米/秒的相同速度作直线运动

接：Q沿边BC的延长线运动，PQ与直线AC相交于点D，设P点运动时间为t,三角形PCQ的面积为S。
（1）求出S关于t的函数关系式
（2）求点P运动几秒时S△PCQ=S△ABC
（3）作PE⊥AC于点E，当点P,Q运动时，线段DE的长度是否改变？证明你的结论。

Answer 1

解：若P点沿BA的延长线运动，PQ始终平行于AC，与题设不符，故P点只能以AB方向运动，以下分类讨论
1）若0<t<10时，由画图容易求得，S=1/2*[t(10-t)]；若t=10，此时△PCQ不存在；若t>10时，由画图容易求得，S=1/2*[t(t-10)]
2）因为S△ABC=10×10/2=50，则令1/2*[t(10-t)]=50，该方程无解，再令1/2*[t(t-10)]=50，求得方程根t=5(1+√5），负根舍去，故当t运行到5(1+√5）时S△PCQ=S△ABC
3）当0<t<10时，做图，做DF⊥BQ于点F，显然△DFC为等腰直角三角形，DF=FC，易知△DFQ≌△PBQ，则有DF/PB=FQ/BQ，PB=10-t，FQ=FC+CQ=DF+t，BQ=10+t，代入以上比例式求得DF=(10-t)/2，故DC=[√2(10-t)]/2,而△APE也是等腰直角三角形，AP=t，则AE=√2×t/2,所以DE=AC-DC-AE=10√2-[√2(10-t)]/2-√2×t/2=5√2,此时与时间无关；
当t>10时，做图，做DF⊥BQ于点F，显然△DFC、△APE为等腰直角三角形，DF=FC，AE=√2*t/2易知△DFQ≌△PBQ，则有DF/PB=FQ/BQ，BP=t-10，FQ=CQ-CF=t-DF，BQ=10+t，代入比例式求得DF=(t-10)/2,所以CD=[√2(t-10)]/2,则ED=AD-AE=AC+CD-AE=10√2+[√2(t-10)]/2-√2*t/2=5√2,此时也与时间无关；
综上，当点P,Q运动时，线段DE的长度不会改变

Answer 2

额，我想问哈，P是沿哪条直线运动的呢？
应该是沿AB的延长线哦。