Question

一道椭圆题

Answer 1

椭圆x²/a²+y²/b²=1，（a>b>0)，右顶点和上顶点分别为A，B，点A，B关于直线y=-x 的对程点为
C，D，直线AB和CD相交于P，且P恰好在抛物线y²=-2x上，且△PAD的面积为3；
①求椭圆方程；②椭圆上是否存在一点Q，使∠PQA=90°；若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由。
解：①A(0，b)；B(a，0)；C，D与A，B关于直线y=-x对称，故C(-b，0)；D(0，-a).
AB所在直线的斜率KAB=-b/a，故其方程为y=-(b/a)x+b，令-(b/a)x+b=-x，得x=-ab/(a-b)，
y=ab/(a-b)，即P点的坐标为（-ab/(a-b)，ab/(a-b)).
︱AD︱=a+b，△APD的面积S=(1/2)︱AD︱︱点P的横坐标︱=(1/2)(a+b)[ab/(a-b)]=3......(1)
点P在抛物线y²=-2x上，故其坐标满足该抛物线方程，即有：
a²b²/(a-b)²=2ab/(a-b)，化简得ab/(a-b)=2............(2)
将(2)代入(1)式得a+b=3，即有b=3-a，代回(2)式得a(3-a)/(2a-3)=2，3a-a²=4a-6，
a²+a-6=(a+3)(a-2)=0，故a=2；b=1.于是得椭圆方程为：x²/4+y²=1.
②当a=2，b=1时，P点的坐标为(-2，2)，A点的坐标为(0，1)，Q在椭圆上，设Q点的坐标为
Q(2cosθ，sinθ)，其中θ是椭圆的参变量；于是向量QA=(-2cosθ，1-sinθ)；
向量QP=(-2-2cosθ，2-sinθ)；QA⊥QP，故其数量积
QA•QP=-2cosθ(-2-2cosθ)+(1-sinθ)(2-sinθ)=4cos²θ+4cosθ+2+sin²θ-3sinθ=0...........(2)
解出θ，即可得Q点的坐标。但这个三角方程不好解。
也可用另一方法求解：
︱AP︱=√5，设AP的中点为M，则M的坐标为(-1，3/2)，以M为圆心，√5/2为半径作圆：
(x+1)²+(y-3/2)²=5/4，即x²+2x+1+y²-3y+9/4=5/4，化简得：
x²+2x+y²-3y+2=0............(3)
与椭圆方程:
x²+4y²-4=0....................(4)
联立求解，(4)-(3)得3y²+3y-2x-6=0，故得x=(3y²+3y-6)/2，代入椭圆方程得：
(3y²+3y-6)²/4+4y²-4=0，展开，整理得：
9y⁴+18y³-11y²-36y+20=0
解出y，再代入（3）求出x，那么所得(x，y)就是Q点的坐标。因为Q是圆M与椭圆的交点，Q在
圆M上，故必有QA⊥QP。
但这个四次方程也不好解。
注：因为Q点在椭圆上，故将x=2cosθ，y=sinθ 代入方程(2)即得方程(3).