Question

已知f(x)是定义在(0,正无穷大)上的增函数,且满足f(xy)=f(x)+f(y),f(2)=1,若x满足f(x)-f(x-2)大于3，

已知f(x)是定义在(0,正无穷大)上的增函数,且满足f(xy)=f(x)+f(y),f(2)=1,若x满足f(x)-f(x-2)大于3，求x的取值范围

Answer 1

f(xy)=f(x)+f(y),f(2)=1，
∴f(8)=3f(2)=3,
f(x)-f(x-2)>3,
化为f(x)>f(8)+f(x-2)=f(8x-16),
f(x)是定义在(0,正无穷大)上的增函数,
∴x>8x-16>0,
解得2<x<16/7.

Answer 2

一种快速想法
设f(x)=log2(x)【底数为2】
符合以上所有条件
f(x)是定义在(0,正无穷大)上的增函数,且满足f(xy)=f(x)+f(y),f(2)=1
则f(x)-f(x-2)>3
即log2(x/(x-2))>3
即x/(x-2)>8
解得
2<x<16/7