Question

急。已知函数f(x)=ax/(1+x^2)其中（a不等于0），a属于R） 1.若a=2,求f(x)在x>0时的最大值

2.判断f(x)在区间（-1,1）上的单调性
本人高一，在线等，速度的加分，过程清楚，详细点，O(∩_∩)O谢谢

Answer 1

（1）f(x)=ax/(1+x^2)=2x/(1+x^2)=2/((1/x)+x),由于(1/x)+x>=2（当(1/x)=x，即x=1时，取最小值），则f(x)=2/((1/x)+x)<=2/2=1,x=1时取到最小值。
（2）f(x)=ax/(1+x^2)=ax/(1+x^2)=a/((1/x)+x),f(-x)=(-ax)/(1+(-x)^2)=-f(x)，即f(x)是奇函数，故只需判断其在[0,1)上的单调性即可。
直接用定义证明，设x1，x2属于[0,1)，且有x1<x2,则f(x1)-f(x2)=ax1/(1+x1^2)-ax2/(1+x2^2)=a(x1(1+x2^2)-x2(1+x1^2))/[(1+x1^2)(1+x2^2)]=a(x1-x2)(1-x1*x2)/[(1+x1^2)(1+x2^2)]
当a>0时，上式<0,即f在[0,1)是增函数，由于其是奇函数，故在(-1,0]也是增函数，因此f(x))在区间（-1,1）上是增函数；
当a<0时，上式>0,即f在[0,1)是减函数，由于其是奇函数，故在(-1,0]也是减函数，因此f(x))在区间（-1,1）上是减函数。