Question

设函数f（x）=x-1/x，对任意x在[1，正无穷），f（mx）+mf（x）小于0恒成立，则实数m的取值范围是？

百度上的没看懂。

可以把别的粘过来，但是为我把分类讨论的步骤理清楚好么。。。看不懂。
怎么就剩m＜-1了呢。

我可不可以直接吧x=1带进去？我这样出来先得到，f（m）＜0，然后把m带到前面那个函数里去，m-1/m＜0这样子、、、解出来一个m＜0时，m＜-1。m＞0时，o＜m＜1

哪里错了？？？？？？？？？天啊，谁来帮我。
请勿灌水，忽略一楼。

Answer 1

题意等价于f（mx）+mf（x）=2mx-1/mx-m/x<0对[1,正无穷)恒成立
然后就是想办法把m分离出来，就要在式子两端×mx，但m符号不确定，为了确定不等号方向，必须分类讨论（m显然不等于零，以下就不讨论了）
①m>0时，两端同时×mx，不等号方向不变，化简得到m^2<1/(2x^2-1)，由于x属于[1,正无穷)，所以1/(2x^2-1)属于(0,1]，为了使上式恒成立，所以m^2应该小于等于1/(2x^2-1)的渐近值，即m^2≤0，很显然不符合m>0
②m＜0时，类似的，m^2>1/(2x^2-1)即m^2＞1，再联立m＜0，解得m＜-1
综上所述，m＜-1

对于这一类恒成立问题，一般都可以使用这种解题方法，即分离出题目要求的量，再用另一个变量来限制它的范围，在化简时可能要讨论正负号。这是我认为对付这类题目最普遍也是最简洁的方法，若用二次函数来解，一是可能分类情况比较多，很烦，二是在控制范围时很容易漏条件，动不动就会出错。

至于你说的，那肯定是不行的，因为你显然是用特殊情况代替整体了，你这样解出的范围只能是对于x=1时成立，而不是[1,正无穷)。

还有这题还有一种更简便的方法，就是直接讨论m的符号，从而确定g(x)=2mx-1/mx-m/x的单调性，从而确定g(x)的最值。但这是因为这题中g(x)的单调性很容易确定，所以可以这样写，但是并不具有普遍性，经供参考。
有什么问题还可以再问我，打得我累死了。

Answer 2

f（mx）+mf（x）=mx-1/(mx)+m(x-1/x)
=2mx-(m+1)/(mx)
=(2m²x²-m-1)/(mx)<0
因x≥1>0 m≠0
1. m<0时 mx<0
只需2m²x²-m-1>0
x²>(m+1)/2m²恒成立
只需1²>(m+1)/2m²
(2m²-m-1)/2m²>0
(2m+1)(m-1)/m²>0
即(2m+1)(m-1)>0
解得m<-1/2或m>1
所以m<-1/2
2. m>0时 mx>0
只需2m²x²-m-1<0
x²<(m+1)/2m²恒成立
但对一切x≥1，不可能始终满足条件
所以不存在这样的m
综上：m<-1/2

Answer 3

由题意m不等于0，又x在【1，+∞】，所以原式F（x）=f(mx)+mf(x)=mx-1/mx+m(x-1/x),即F（x）=2mx-1/mx-m/x①;
∴当m>0时，F（x）<0即2m*mx*x-1-m*m<0在x在【1，+∞】成立，此时解得0<m<1;
当m<0时，同理可解得m<-1,
所以综上所述，得m的取值范围是m<-1或者0<m<1.
(此题的关键是在2m*mx*x-1-m*m<0式子化为整式时要分类讨论m的正负)不知道这样你能理解么？呵呵呵。。。

Answer 4

显然m≠0， f（mx）=mx-1/mx
＝f(mx)+mf(x)=mx-1/mx+mx-m/x<0
＝2mx<(1+m^2)/mx
①m>0时 x<(1+m^2)/m^2 不能满足,对任意x∈[1,∞),f(mx)+mf(x)<0恒成立，故舍去
②m<0时，x>(1+m^2)/m^2 要是不等式成立(1+m^2)/m^2 <1,解得m<-1

Answer 5

f(x)=x-1/x
f(mx)+mf(x)=mx-1/mx+m*(x-1/x)=mx-1/mx+mx-m/x<0 (x>=1)
所以：2m*x^2-1/m-m<0
如果m>0,则抛物线y=2m*x^2-1/m-m开口向上，与题意不符。
所以m<0
由判别式得出，8-8m^2<0
所以m<-1