Question

高一数学函数fx=x2+1,且gx=f[f(x)],G(x)=g(x)-a f(x),

已知函数fx=x2+1,且gx=f[f(x)],G(x)=g(x)-a f(x),试问，是否存在实数a，使得G（x）在（负无穷，-1]上为减函数，并且在（-1,0）上为增函数。
推荐答案

假设存在实数a，使得G(x)在（－∞，－1 ]为减函数，在（-1，0）上为增函数.
f(x)=x²+1
g(x)=f[f(x)]=[f(x)]²+1=(x²+1)²+1=x^4+2x²+2
G(x)=g(x)-af(x)= x^4+2x²+2-a(x²+1)=x^4+(2-a)x²+2-a

函数G(x)可看作是由函数u=t²+(2-a)t+(2-a)与函数t=x²复合而成，
易知，函数t=x²在（－∞，0）上为减函数，
要使G(x)在（－∞，－1 ]为减函数，在（-1，0）上为增函数
则函数u=t²+(2-a)t+(2-a) 在（0，1）为减函数，在（1，＋∞）上为增函数
∴-(2-a)/2=1，
2-a= -2，
a=4，
故存在a=4，使得G(x)在（－∞，－1 ]为减函数，在（-1，0）上为增函数.

以上倒数第四行的那句话怎么理解?

Answer 1

以上倒数第四行的那句话怎么理解?

由关于t的二次函数u=t²+(2-a)t+(2-a)的图像是一条开口向上的抛物线,
其对称轴为:x=-(2-a)/2.
又由函数u=t²+(2-a)t+(2-a) 在（0，1）为减函数，在（1，＋∞）上为增函数
得x=-(2-a)/2=1.

Answer 2

函数y=ax^2+bx+c,在x=-a/2时，取最小值或最大值，而函数u=t²+(2-a)t+(2-a) 在（0，1）为减函数，在（1，＋∞）上为增函数，可见该函数在x=1时，取最小值，所以-（2-a）/2=1.

Answer 3

以上倒数第四行的那句话怎么理解?