Question

数学已知函数f(x)=x2+a,g(x)=f(f(x

已知函数f(x)=x2+a,g(x)=f(f(x))a∈R
(1)当a=-1时分别求出f(x)和g(x)最小值及他们对应的x值。
（2）是否存在实数a使得关于x的方程g(x)=2有实根，若存在，请求出a的取值范围。
（主要是第2小题）

Answer 1

直接回答你的第二小题
g（x）=x^4+2ax^2+a^2+a，g（x）=2，则 求 x^4+2ax^2+a^2+a-2=0的a的取值范围，使得x有实数解
令x^2=t.则方程等价于 t^2+2at+a^2+a-2=0 因为x为实数，所以t的取值范围为 t〉=0
考虑此函数的对称轴为x=-a ，当-a〉0，则根据函数图像，开口向上，且diet〉=0，才能与x轴有交点，所以a<0时，4a^2-4(a^2+a-2)>=0,求得最终a的取值范围是，a<0
当a=0，显然有实数解
当a>0，即对称轴在x的负轴上时，只需 令t=0，a^2+a-2<=0,即得a的最终取值范围是（0，1]
综上，a的最终取值范围是（-无穷，1]

Answer 2

g(x)=x^4+2ax^2+a^2+a;
令t(x)=g(x)-2;
则t(x)=x^4+2ax^2+a^2+a-2;
t'(x)=4x^3+4ax=4x(x^2+a);
如果a大于等于0的话 t(x)在x大于等于0这区间内是增函数，在x<0的时候是减函数；
t(x)的最小值是t(0)=a^2+a-2;
只要最小值小于0，就能保证g(x)=2有实根；
t(0)<0 即a^2+a-2 <0 得到-2<a<1;
当a<0时；
t'(x)在【-∝，sqrt(|a|)】是小于0的，则t(x)在这个区间上是递减函数，
t'(x)在【sqrt(|a|),0是大于0的，则t(x)在这个区间上是递增函数；
t'(x)在【0.sqrt(|a|)】是小于0的，则t(x)在这个区间上是递减函数；
t'(x)在【sqrt（|a|，+∝】是大于0的 则t(x)在这个区间上递增函数；
根据这个只要满足t(x)的最小值小于0，就会存在实根，
接下来的只需要解不等式就行了
希望能帮到你