Question

两个线性方程组有公共解

现有两个四元齐次线性方程组I和II（每个方程组各有两个方程），I的基础解系记为n1,n2，II的基础解系记为n3,n4，把n1,n2,n3,n4组成一个新的矩阵记为A，问题来了：这两个方程组有公共解是否等价于A的行列式为零？如果这两个方程组是非齐次的，对结论有影响吗？

Answer 1

两个方程组有公共非零解等价于合拼后的方程组系数矩阵行列式为零
因为如果系数矩阵行列式为零说明合并后的方程组有非零解，那么此解一定也是各个方程的解
如果两个方程组有公共非零解那么此解一定也是合并后的方程组的解

如果是非其次的则不然，合并后的系数矩阵行列式为不为零，那么由CRAMER法则，合并后的方程组还是有解，所以有公共解不能推出系数矩阵行列式为零；但系数矩阵行列式为零一定能推出有解，而且此解为各个方程的解

追问

你看错了。。
我问的是两个方程组的基础解系组成的新矩阵行列式是否为零
不是这两个方程组合并后系数行列式是否为零

追答

哦，看错，抱歉，A行列式为零，n1,n2,n3,n4线性相关，k1n1+k2n2+k3n3+k4n4=0,k1,k2,k3,k4不同时为零，不妨设k1不为零 k1n1+k2n2=-（k3n3+k4n4），而n1,n2线性无关k1n1+k2n2不为零
k1n1+k2n2为第一个方程组的非零解，-（k3n3+k4n4）为第二个方程组的非零解所以k1n1+k2n2为公共解，同样可以反推回去，若公共非零解为k1n1+k2n2=-（k3n3+k4n4），n1,n2,n3,n4线性相关A的行列式为零

对于非齐次，需要给定特解和基础解系，这样解就不一定能组成方阵，也就不存在你说的问题，如果只是基础解系和其次是一样的