Question

1）已知，如图，在梯形ABCD中，AB平行于CD，BC=CD，AD垂直于BD，E为AB的中点，求证四边形BCDE是菱形。

2）如图，ABCD，BEFG都是正方形，A、B、E在一条直线上，连结A、G，且延长交CE的连线为H，求证：AH⊥CE

3）如图,菱形ABCD中,AC和BD交于O,OE垂直于AB于E,OF垂直于BC于F，OG⊥CD于G，OH⊥AD于H，试说明EFGH为矩形。

4）如图，在矩形ABCD中，四哥内角平分线交于E、F，若AB=40cm，AD=100cm，求EF。

Answer 1

1.∵BC=CD
∴C在BD的中垂线上，作BD的中垂线CF交AB、BD于F、G
又AD⊥BD
∴FG是△ABD的中位线
∴E与F重合
∵EB∥CD BG=DG
∴△EBG≌△CDG(ASA)
∴EG=CG
∴△DEG≌△BCG(SAS)
∴又DE是Rt△ABD的中线
∴BE=DE=BC
∴四边形BCDE是菱形
2. 易证Rt△ABG≌Rt△CBE
∴∠CEB=∠AGB=∠CGH
∴△CBE∽△CHG
∴∠CHG=∠CBE=90°
∴AH⊥CE
3.∵AB∥CD
∴E、O、G共线
同理F、O、H共线
菱形的两条对角线分菱形为四个全等的直角三角形
∴三角形等高
∴四边形EFGH的对角线互相平分
∴EFGH是矩形
4.依题意可知△ABE和△CDF是等腰直角三角形
斜边的中线=斜边的一半
∴EF=AD-AB/2-CD/2=100-20-20=60cm