Question

已知等差数列{an}的首项为a1=1，公差d不为0，等比数列{bn}满足b2=a2，b3=a5，b4=a14

（1）求数列{an}、{bn}的通项公式
（2）数列{cn}对任意n属于N*都有c1/b1+c2/b2+c3/b3+……+cn/bn=a(n+1)，求数列{cn}通项公式

Answer 1

(1)
解：因为等差数列{an}的首项a1=1
所以a2=a1+d=1+d,a5=a1+4d=1+4d,a14=a1+13d=1+13d
因为{bn}为等比数列
所以(b3)^2=b2*b4
又a2=b2,a5=b3,a14=b4
所以(a5)^2=a2*a14
即(1+4d)^2=(1+d)*(1+13d)
所以1+8d+16d^2=1+14d+13d^2
即d^2-2d=0
所以d=2或d=0
又因为d＞0
所以d=2

所以an=a1+(n-1)d=1+2(n-1)=2n-1

所以b2=a2=3,b3=a5=9
故q=b3/b2=9/3=3
所以b1=b2/q=3/3=1

所以bn=b1*q^(n-1)=1*3^(n-1)=3^(n-1)

(2)
c1/b1+c2/b2+c3/b3+……+Cn/bn=a(n+1)

c1/b1+c2/b2+c3/b3+……+Cn/bn=2n
设cn/bn=gn
Tn=2n
gn=Tn-Tn-1=2
所以Cn/Bn=2
Cn=2*3^(n-1)

Answer 2

解：
,A2,A5,A14分别是等比数列<Bn>的B2,B3,B4
则，A5^2=A2A14即（1+4d)^2=（1+d)(1+13d)
解得，d=2；
则An=1+2（n-1）=2n-1；
B2=A2=3;B3=A5=9;B4=A14=27
所以Bn是以1为首项3为公比的等比数列
Bn=3^(n-1)
C1/B1+C2/B2+````+Cn/Bn=A(n+1)，则，C1/B1=A1.C1=3
C1/B1+C2/B2+````+Cn-1/Bn-1=An
两式相减Cn/Bn=2，则Cn=2x3^(n-1)（n>=2)
当n=1，不满足通式，则数列Cn是，除去第一项其余项成等比数列
则C1+C2+````+C2008=3+2x3+2x3^2+……+2x3^2007
=3+（2x3-2x3^2007x3）/(1-3)
= 3^2008