Question

证明：如果复数a+ib是实系数方程a0*z^n+a1*z^(n-1)+......+an-1*z+an=0.的根，那么a-ib也是它的根。

用具体式子证明啊，谢谢。

Answer 1

由于复数a+ib是实系数方程a0*z^n+a1*z^(n-1)+......+an-1*z+an=0.的根，所以a0*(a+ib)^n+a1*(a+ib)^(n-1)+......+an-1*(a+ib)+an=0,方程左右两端取共轭，注意到ak的共轭是其本身，a+ib的共轭为a-ib，z1*z2的共轭等于z1的共轭乘以z2的共轭，所以得a0*(a-ib)^n+a1*(a-ib)^(n-1)+......+an-1*(a-ib)+an=0,即a-ib为原方程的根。

形如z=a+bi（a,b均为实数）的数称为复数，其中a称为实部，b称为虚部，i称为虚数单位。

当虚部等于零时，这个复数可以视为实数；当z的虚部不等于零时，实部等于零时，常称z为纯虚数。复数域是实数域的代数闭包，即任何复系数多项式在复数域中总有根。

复数是由意大利米兰学者卡当在十六世纪首次引入，经过达朗贝尔、棣莫弗、欧拉、高斯等人的工作，此概念逐渐为数学家所接受。

Answer 2

由于复数a+ib是实系数方程a0*z^n+a1*z^(n-1)+......+an-1*z+an=0.的根，所以
a0*(a+ib)^n+a1*(a+ib)^(n-1)+......+an-1*(a+ib)+an=0
方程左右两端取共轭，注意到ak的共轭是其本身，a+ib的共轭为a-ib，z1*z2的共轭等于z1的共轭乘以z2的共轭，所以得
a0*(a-ib)^n+a1*(a-ib)^(n-1)+......+an-1*(a-ib)+an=0
即a-ib为原方程的根