Question

已知抛物线y=－x2+2(m+1)x+m+3与x轴有两个交点A，B与y轴交于点C

已知抛物线y=－x2+2(m+1)x+m+3与x轴有两个交点A，B与y轴交于点C，其中点A 在x轴的负半轴上，点B在x轴的正半轴上，且OA:OB=3:1。（1）求m的值；（2）若P是抛物线上的点，且满足SΔPAB=2SΔABC，求P点坐标

Answer 1

解：（1）由题意抛物线y=－x²+2(m+1)x+m+3与x轴有两个交点A，B
可得：Δ=(2m+2)²+4(m+3)>0，即m²+3m+4>0，
易知对于任意实数m，上式恒成立
又点A在x轴的负半轴上，点B在x轴的正半轴上
则设点A.B坐标分别为(x1,y1)，(x2,y2)，其中x1<0，x2>0
则x1+x2=2(m+1)<0，x1*x2=-(m+3)<0
解得-3<m<-1
因为OA=-x1，OB=x2且OA:OB=3:1
所以-x1=3x2即x1=-3x2
则-2x2=2(m+1)即x2=-m-1
且-3(x2)²=-(m+3)
所以-3(-m-1)²=-(m+3)
-3m²-5m=0
m(3m+5)=0
解得m=-5/3 (m=0不合题意，舍去)

（2）由第1小题可知m=-5/3，则：
抛物线y=－x²+2(m+1)x+m+3可写为y=－x²－4/3x+4/3
令y=0，则－x²－4/3x+4/3=0
即3x²+4x-4=0
(3x-2)(x+2)=0
解得x=2/3或x＝－2
所以点A坐标为(-2,0)，点B坐标为(2/3,0)
令x=0，可得y=4/3，所以点C坐标为(0,4/3)，则线段OC长为4/3
设点P坐标为(p,q)，则点P到x轴距离为|q|
又SΔABC=(1/2)*OC*AB，SΔPAB=(1/2)*|q|*AB
且SΔPAB=2SΔABC
则(1/2)*|q|*AB＝2*(1/2)*OC*AB
即|q|=2OC=8/3
因为点P(p,q)在抛物线y=－x²－4/3x+4/3上，所以：
－p²－4/3 *p+4/3＝q
当q=8/3时，－p²－4/3 *p+4/3=8/3
则3p²+4p+4=0
因为Δ=16-48<0，所以上述方程无解；
当q=－8/3时，－p²－4/3 *p+4/3=－8/3
则3p²+4p-12=0
解得p=(-4±4√10)/6=(-2±2√10)/3
所以点P坐标为((-2+2√10)/3,-8/3)或（(-2-2√10)/3,-8/3)

Answer 2

解：（1）由题意抛物线y=－x²+2(m+1)x+m+3与x轴有两个交点A，B
可得：Δ=(2m+2)²+4(m+3)>0，即m²+3m+4>0，
易知对于任意实数m，上式恒成立
又点A在x轴的负半轴上，点B在x轴的正半轴上
则设点A.B坐标分别为(x1,y1)，(x2,y2)，其中x1<0，x2>0
则x1+x2=2(m+1)<0，x1*x2=-(m+3)<0
解得-3<m<-1
因为OA=-x1，OB=x2且OA:OB=3:1
所以-x1=3x2即x1=-3x2
则-2x2=2(m+1)即x2=-m-1
且-3(x2)²=-(m+3)
所以-3(-m-1)²=-(m+3)
-3m²-5m=0
m(3m+5)=0
解得m=-5/3
(m=0不合题意，舍去)
（2）由第1小题可知m=-5/3，则：
抛物线y=－x²+2(m+1)x+m+3可写为y=－x²－4/3x+4/3
令y=0，则－x²－4/3x+4/3=0
即3x²+4x-4=0
(3x-2)(x+2)=0
解得x=2/3或x＝－2
所以点A坐标为(-2,0)，点B坐标为(2/3,0)
令x=0，可得y=4/3，所以点C坐标为(0,4/3)，则线段OC长为4/3
设点P坐标为(p,q)，则点P到x轴距离为|q|
又SΔABC=(1/2)*OC*AB，SΔPAB=(1/2)*|q|*AB
且SΔPAB=2SΔABC
则(1/2)*|q|*AB＝2*(1/2)*OC*AB
即|q|=2OC=8/3
因为点P(p,q)在抛物线y=－x²－4/3x+4/3上，所以：
－p²－4/3
*p+4/3＝q
当q=8/3时，－p²－4/3
*p+4/3=8/3
则3p²+4p+4=0
因为Δ=16-48<0，所以上述方程无解；
当q=－8/3时，－p²－4/3
*p+4/3=－8/3
则3p²+4p-12=0
解得p=(-4±4√10)/6=(-2±2√10)/3
所以点P坐标为((-2+2√10)/3,-8/3)或（(-2-2√10)/3,-8/3)

Answer 3

解：设B（-k，0），则A（3k，0）．
∴-k，3k是方程-x2+2（m+1）x+m+3=0的两根，
∴-k+3k=2(m+1)-k•3k=-(m+3)​．
解得：m=0或-53，
∵都满足△＞0，
如图：若x1，x2是方程-x2+2（m+1）x+m+3=0的两根，
则x1•x2=-（m+3）＜0，x1+x2=2（m+1）＞0，
当m=-53时，x1+x2=2（m+1）=-43＜0，
∴m=-53不合题意，舍去．
∴m=0．

Answer 4

点P坐标为((-2+2√10)/3,-8/3)或（(-2-2√10)/3,-8/3)