Question

lim(x->0)(cosx^2)^1/sinx^2

当x趋近0时求极限？

Answer 1

楼主先确认是lim(x->0)(cosx^2)^[1/sinx^2]还是lim(x->0)[(cosx)^2]^[1/(sinx)^2]?
如果是后者，
lim(x->0)[(cosx)^2]^[1/(sinx)^2]
=lim(x->0)1/{1+[-(sinx)^2)]}^[1/-(sinx)^2]
=1/e
如果是前者,相当于lim(t->0)(cost)^[1/sint]
=e^lim(t->0)ln{(cost)^[1/sint]}
=e^lim(t->0)(lncost)/sint
而lim(t->0)(lncost)/sint分子分母求导
=lim(t->0)-sint/(cost)^2=0
所以原式=e^0=1

Answer 2

原式=exp{lim(x->0)ln(cosx^2)/sinx^2}=exp{lim(x->0)ln[1+(cosx^2-1)]/sinx^2}=exp{lim(x->0)(cosx^2-1)/x^2}=exp{lim(x->0)-(x^4/2)/x^2}=exp(0)=1
这里用了等价无穷小ln(1+x)~x, 1-cosx~x^2/2 (x->0)

如果题中为cos^2x与sin^2x, 则有更简单的方法
原式=lim(x->0)(1-sin^2x)^{(-1/sin^2x)*(-1)}=e^{-1}=1/e