(2006?临沂)如图1,已知正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,E是AC上一点,连接EB,过点A作AM⊥BE,垂
(2006?临沂)如图1,已知正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,E是AC上一点,连接EB,过点A作AM⊥BE,垂足为M,AM交BD于点F.(1)求证:OE=OF...
(2006?临沂)如图1,已知正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,E是AC上一点,连接EB,过点A作AM⊥BE,垂足为M,AM交BD于点F.(1)求证:OE=OF;(2)如图2,若点E在AC的延长线上,AM⊥BE于点M,交DB的延长线于点F,其它条件不变,则结论“OE=OF”还成立吗?如果成立,请给出证明;如果不成立,请说明理由.
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解答:(1)证明:∵四边形ABCD是正方形.
∴∠BOE=∠AOF=90°,OB=OA.
又∵AM⊥BE,∴∠MEA+∠MAE=90°=∠AFO+∠MAE,
∴∠MEA=∠AFO.
∴△BOE≌△AOF.
∴OE=OF.
(2)解:OE=OF成立.
证明:∵四边形ABCD是正方形,
∴∠BOE=∠AOF=90°,OB=OA.
又∵AM⊥BE,
∴∠F+∠MBF=90°,
∠E+∠OBE=90°,
又∵∠MBF=∠OBE,
∴∠F=∠E.
∴△BOE≌△AOF.
∴OE=OF.
∴∠BOE=∠AOF=90°,OB=OA.
又∵AM⊥BE,∴∠MEA+∠MAE=90°=∠AFO+∠MAE,
∴∠MEA=∠AFO.
∴△BOE≌△AOF.
∴OE=OF.
(2)解:OE=OF成立.
证明:∵四边形ABCD是正方形,
∴∠BOE=∠AOF=90°,OB=OA.
又∵AM⊥BE,
∴∠F+∠MBF=90°,
∠E+∠OBE=90°,
又∵∠MBF=∠OBE,
∴∠F=∠E.
∴△BOE≌△AOF.
∴OE=OF.
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