Question

已知函数f(x)＝a+sinx2+cosx?bx（a、b∈R），（Ⅰ）若f（x）在R上存在最大值与最小值，且其最大值与最小

已知函数f(x)＝a+sinx2+cosx?bx（a、b∈R），（Ⅰ）若f（x）在R上存在最大值与最小值，且其最大值与最小值的和为2680，试求a和b的值；（Ⅱ）若f（x）为奇函数：（1）是否存在实数b，使得f（x）在(0，2π3)为增函数，(2π3，π)为减函数，若存在，求出b的值，若不存在，请说明理由；（2）如果当x≥0时，都有f（x）≤0恒成立，试求b的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）∵f（x）在x∈R上存在最大值和最小值，
∴b=0（否则f（x）值域为R），
∴y＝f(x)＝

a+sinx

2+cosx

?sinx?ycosx＝2y?a?|sin(x??)|＝

|2y?a|

1+y2

≤1?3y²-4ay+a²-1≤0，
又△=4a²+12＞0，由题意有ymin+ymax＝

4

3

a＝2680，
∴a=2010；
（Ⅱ）若f（x）为奇函数，∵x∈R，∴f（0）=0?a=0，
∴f(x)＝

sinx

2+cosx

?bx，f′(x)＝

2cosx+1

(2+cos)2

?b，
（1）若?b∈R，使f（x）在（0，

2

3

π）上递增，在（

2

3

π，π）上递减，
则f′(

2

3

π)＝0，
∴b=0
并且当x∈(0，

2

3

π)时，f'（x）＞0，f（x）递增，
当x∈(

2

3

π，π)时f'（x）＜0，f（x）递减，
∴当b=0时满足题意．
（2）①f′(x)＝

?bcos2x+2(1?2b)cosx+1?4b

(2+cosx)2

△=4[（1-2b）²+b（1-4b）]=4（1-3b）
若△≤0，即b≥

1

3

，则f'（x）≤0对?x≥0恒成立，这时f（x）在[0，+∞）上递减，
∴f（x）≤f（0）=0，
②若b＜0，则当x≥0时，-bx∈[0，+∞），

sinx

2+cosx

∈[?

3

3

，

3

3

]，f(x)＝

sinx

2+cosx

?bx不可能恒小于等于0，
③若b=0，则f(x)＝

sinx

2+cosx

∈[?

3

3

，

3

3

]不合题意，
④若0＜b＜

1

3

，
则f′(0)＝

1?3b

3

＞0，f'（π）=-b-1＜0，
∴?x₀∈（0，π），使f'（x₀）=0，x∈（0，x₀）时，f'（x）＞0，
这时f（x）递增，f（x）＞f（0）=0，不合题意，
综上b∈[

1

3

，+∞)．