Question

函数f(x)=根号1-x+根号x+3的值域是

高人！！

Answer 1

令y=f(x)
则y>=0
y²=1-x+x+3+2√[(1-x)(x+3)]
=4+2√(-x²-2x+3)
=4+2√[-(x+1)²+4]

定义域1-x>=0,x+3>=0
-3<=x<=1
所以x=-1，-(x+1)²+4最大=4
x=-3或1，-(x+1)²+4最小=0
所以y²最大是4+2√4=8，最小是4+2√0=4
所以值域[2,2√2],

Answer 2

令y=f(x)
则y>=0
y²=1-x+x+3+2√[(1-x)(x+3)]
=4+2√(-x²-2x+3)
=4+2√[-(x+1)²+4]
定义域1-x>=0,x+3>=0
-3<=x<=1
所以x=-1，-(x+1)²+4最大=4
x=-3或1，-(x+1)²+4最小=0
所以y²最大是4+2√4=8，最小是4+2√0=4
所以值域[2,2√2],

Answer 3

令y=f(x)
则y>=0
y²=1-x+x+3+2√[(1-x)(x+3)]
=4+2√(-x²-2x+3)
=4+2√[-(x+1)²+4]
定义域1-x>=0,x+3>=0
-3<=x<=1
所以x=-1，-(x+1)²+4最大=4
x=-3或1，-(x+1)²+4最小=0
所以y²最大是4+2√4=8，最小是4+2√0=4
所以值域[2,2√2],

Answer 4

1.三角换元

因为-3<=x<=1
令x=1-4sin^2(a)
则y=2sina+2cosa,
因为(sina>=0,cosa>=0),所以0<=a<=90
由辅助角公式：
y=2根号2[sin(a+45)]
所以2<=y<=2根号2

2.向量法
设a=(1,1),b=(根号(1-x),根号(x+3))
y=a·b=|a||b|cosa
=2根号2cosa
因为b在第一象限，cosa属于(0,45)
即
2<=y<=2根号2

3.判别式法
(y^2-4)^2=-x^2-2x+3
令delta>=0,x在[-3,1]上有解，
可得2<=y<=2根号2