Question

如图,⊙O是△SBC的内切圆,D、E、F是切点,D、E、F分别在AB、BC、CA上。问:△DEF的形状有什么特点？

请说明理由

Answer 1

为锐角三角形，

△DEF的三个内角∠AFD=∠DEF,∠BDE=∠DFE,∠CEF=∠EDF.（这是一个性质下面附图）

而∠AFD,∠BDE,∠CEF分别是等腰△ADF,等腰△BDE,等腰△CEF的底角，

∴ 2∠AFD，2∠BDE，2∠CEF都小于180°

∴∠AFD，∠BDE，∠CEF都小于90°

∴∠DEF，∠DFE，∠EDF也都小于90°，

则△DEF是锐角三角形。

∠CBF=∠BAC是因为∠CBE+∠CBF=90°

CD为直径，则∠DAB+∠BAC=90°

而BO=CO，则∠CBE=∠BCO

又∵∠BCO与∠DAB是同弧所对的圆周角

即∠DAB=∠BCO=∠CBE

∴∠CBF与∠BAC与等角互余则相等