Question

已知动点M到定点F（1，0）的距离比M到定直线x=-2的距离小1．（1）求证：M点的轨迹是抛物线，并求出其方程

已知动点M到定点F（1，0）的距离比M到定直线x=-2的距离小1．（1）求证：M点的轨迹是抛物线，并求出其方程；（2）大家知道，过圆上任意一点P，任意作互相垂直的弦PA、PB，则弦AB必过圆心（定点）．受此启发，研究下面问题：1过（1）中的抛物线的顶点O任意作互相垂直的弦OA、OB，问：弦AB是否经过一个定点？若经过，请求出定点坐标，否则说明理由；2研究：对于抛物线上某一定点P（非顶点），过P任意作互相垂直的弦PA、PB，弦AB是否经过定点？

Answer 1

解题过程如下（因有专有符号，故只能截图）：

扩展资料

轨迹方程性质：

符合一定条件的动点所形成的图形，或者说，符合一定条件的点的全体所组成的集合，叫做满足该条件的点的轨迹．

轨迹，包含两个方面的问题：凡在轨迹上的点都符合给定的条件，这叫做轨迹的纯粹性（也叫做必要性）；凡不在轨迹上的点都不符合给定的条件，也就是符合给定条件的点必在轨迹上，这叫做轨迹的完备性（也叫做充分性）．

平面轨迹一般是曲线，空间轨迹一般是曲面。A，B是两个定点，k（>0）是一个常数，满足MA:MB=k的动点M的轨迹：在平面上表示一条直线（k=1）或一个圆周（k≠1）；在空间内表示一条平面（k=1）或一个球面（k≠1）。

解法：

1、直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法通常叫做直译法。

2、定义法：如果能够确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程，这种求轨迹方程的方法叫做定义法。

3、相关点法：用动点Q的坐标x,y表示相关点P的坐标x0、y0，然后代入点P的坐标（x0,y0）所满足的曲线方程，整理化简便得到动点Q轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做相关点法。

4、参数法：当动点坐标x、y之间的直接关系难以找到时，往往先寻找x、y与某一变数t的关系，得再消去参变数t，得到方程，即为动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做参数法。

5、交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做交轨法。

Answer 2

（1）证明：由题意可知：动点M到定点F（1，0）的距离等于M到定直线x=-1的距离 根据抛物线的定义可知，M的轨迹是抛物线 所以抛物线方程为：y 2 =4x （2） （i）设A（x 1 ，y 1 ），B（x 2 ，y 2 ）， l AB ：y=kx+b，（b≠0）由 y=kx+b y 2 =4x 消去y得：k 2 x 2 +（2bk-4）kx+b 2 =0，x 1 x 2 = b 2 k 2 ． ∵OA⊥OB，∴ OA ? OB =0 ，∴x 1 x 2 +y 1 y 2 =0，y 1 y 2 = 4b k 所以x 1 x 2 +（x 1 x 2 ） 2 =0，b≠0，∴b=-2k，∴直线AB过定点M（1，0）， （ii）设p（x 0 ，y 0 ）设AB的方程为y=mx+n，代入y 2 =2x 得y 2 -2my=-2n=0 ∴y 1 +y 2 =2m，y 1 y 2 -2n其中y 1 ，y 2 分别是A，B的纵坐标 ∵AP⊥PB∴k max ?k min =-1 即 y 1 - y 0 x 1 - x 0 ? y 2 - y 0 x 2 - x 0 =1 ∴（y 1 +y 0 ）（y 2 +y 0 ）=-4 ?y 1 y 2 +（y 1 +y 2 ）y 0 +y 0 2 -4=0 （-2n）+2my 0 +2x 0 +4=0， =my 0 +x 0 +2 直线PQ的方程为x=my+my 0 +x 0 +2， 即x=m（y+y 0 ）+x 0 +2，它一定过点（x 0 +2，-y 0 ）