Question

设函数f（x）是定义在R上的偶函数，且对于任意的x∈R恒有f（x+1）=-f（x），已知当x∈[0，1]时，f（x）=3

设函数f（x）是定义在R上的偶函数，且对于任意的x∈R恒有f（x+1）=-f（x），已知当x∈[0，1]时，f（x）=3 x ．则①2是f（x）的周期；②函数f（x）在（2，3）上是增函数；③函数f（x）的最大值为1，最小值为0；④直线x=2是函数f（x）图象的一条对称轴．其中所有正确命题的序号是______．

Answer 1

∵对于任意的x∈R恒有f（x+1）=-f（x），∴f（x+2）=f（x），∴2是函数的周期，即①正确； 设x∈（2，3），则x-2∈（0，1），∵当x∈[0，1]时，f（x）=3 x ，函数单调递增，2是函数的周期，∴函数f（x）在（2，3）上是增函数，即②正确； x∈[0，1]时，f（x）=3 x ，∴x∈[0，1]时，函数f（x）的最大值为3，最小值为1，结合①②可知，③不正确； ∵函数f（x）是定义在R上的偶函数，2是函数的周期，∴直线x=2是函数f（x）图象的一条对称轴，即④正确． 故答案为①②④．