Question

设函数f（x）是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R恒有f（x+1）=f（x-1），已知当x∈[0，1]时， f(x)=(

设函数f（x）是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R恒有f（x+1）=f（x-1），已知当x∈[0，1]时， f(x)=( 1 2 ) 1-x ，则其中所有正确命题的序号是______．①2是函数f（x）的周期； ②函数f（x）在（1，2）上是减函数，在（2，3）上是增函数；③函数f（x）的最大值是1，最小值是0； ④当x∈[3，4]时， f(x)=( 1 2 ) x-3 ．

Answer 1

∵对任意的x∈R恒有f（x+1）=f（x-1）， ∴f（x+2）=f（x）则f（x）的周期为2，故①正确； ∵函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x∈[0，1]时， f(x)=( 1 2 ) 1-x ， ∴函数f（x）在（0，1）上是增函数，函数f（x）在（1，2）上是减函数，在（2，3）上是增函数，故②正确； ∴函数f（x）的最大值是f（1）=1，最小值为f（0）= 1 2 ，故③不正确； 设x∈[3，4]，则4-x∈[0，1]，f（4-x）= ( 1 2 ) x-3 =f（-x）=f（x），故④正确； 故答案为：①②④