Question

设函数f（x）是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R恒有f（x+1）=f（x-1），已知当x∈[0，1）时f（x）=log

设函数f（x）是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R恒有f（x+1）=f（x-1），已知当x∈[0，1）时f（x）=log0.5（1-x），则：①2是函数f（x）的周期；②f（x）在（1，2）上是增函数，在（2，3）上是减函数；③f（x）的最大值是1，最小值是0；④当x∈（3，4）时，f（x）=log0.5（x-3）．其中所有正确命题的序号是______．

Answer 1

①因为f（x+1）=f（x-1），所以f（x+2）=f（x），所以函数是周期函数，周期为2，所以①正确．
②当x∈[0，1）时f（x）=log_0.5（1-x），此时函数单调递增．因为函数为偶函数，所以函数在（-1，0）上单调递减，
所以f（x）在（1，2）上是减函数，在（2，3）上是增函数，所以②错误．
③由②知函数在x=0处取得最小值，在x=1处取得最大值，因为f（0=log_0.5（1-0）=0，所以最小值为0．因为函数的最大值为f（1），但f（1）没有具体的数值，所以③错误．
④若3＜x＜4，则-4＜-x＜-3，所以0＜4-x＜1，所以f（x）=f（-x）=f（4-x）=log?_0.5[1-（4-x）]=log?_0.5（x-3），所以④正确．
故答案为：①④．