Question

在三棱锥S—ABC中，AB⊥BC,AB=BC= ,SA=SC=2,，二面角S—AC—B的余弦值是 ，若S、A、B、C都在同一球面上

在三棱锥S—ABC中，AB⊥BC,AB=BC= ,SA=SC=2,，二面角S—AC—B的余弦值是 ，若S、A、B、C都在同一球面上，则该球的表面积是A． B． C．24 D．6





Answer 1

D

因为由AB⊥BC，得△ABC的外接圆的圆心O′为AC中点，连接SO′，BO′，由SA=SC和AB=BC有SO′⊥AC，BO′⊥AC 而四面体外接球的球心O在平面SO′B内，连接OO′，有OO′⊥底面ABC 将平面SO′B取出，则BO′=1，SO′= 用余弦定理可得cos∠SO′B=- ∴SB= 作SB的中垂线，过O′作BO′的垂线，两者必相交于O，用余弦定理，cos∠O′BS= 如图，BE=O′B÷cos∠O′BS= = 也就是D，E，O三点重合了 外接圆的半径R=OB= ∴球的表面积是4πR 2 =6π 故选D．